Một số phép tính về căn bậc hai của số thực (Lý thuyết Toán lớp 9) | Cánh diều

Trang trước Trang sau

Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 2: Một số phép tính về căn bậc hai của số thực sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Một số phép tính về căn bậc hai của số thực

1. Căn bậc hai của một bình phương

Quy tắc: Với mọi số a, ta có $\sqrt{a^{2}} = (a) .$

Ví dụ 1.Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một bình phương, hãy tính:

a) $\sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2}};$

b) $\sqrt{{(3 - \sqrt{10})}^{2}} .$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2}} = |\frac{2}{3}| = \frac{2}{3};$

b) $\sqrt{{(3 - \sqrt{10})}^{2}} = |3 - \sqrt{10}|$

Do $\sqrt{9} < \sqrt{10}$ hay $3 < \sqrt{10}$ nên $3 - \sqrt{10} < 0$

Vì thế ta có $|3 - \sqrt{10}| = \sqrt{10} - 3$

Vậy $\sqrt{{(3 - \sqrt{10})}^{2}} = |3 - \sqrt{10}| = \sqrt{10} - 3.$

2. Căn bậc hai của một tích

Quy tắc: Với hai số không âm a và b, ta có $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} .$

Chú ý: Quy tắc trên có thể mở rộng cho tích có nhiều thừa số không âm.

Ví dụ 2.Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính:

a) $\sqrt{36 \cdot 1, 44}$

b) $- \sqrt{27} \cdot \sqrt{48} .$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{36 \cdot 1, 44} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{1, 44} = 6 \cdot 1, 2 = 7, 2;$

b) $- \sqrt{27} \cdot \sqrt{48} = - \sqrt{27 \cdot 48} = - \sqrt{1 296} = - 36.$

3. Căn bậc hai của một thương

Quy tắc: Với a ≥ 0 và b > 0, ta có $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} .$

Ví dụ 3.Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một thương, hãy tính:

a) $\sqrt{\frac{289}{36}};$

b) $\frac{\sqrt{147}}{\sqrt{3}} .$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{\frac{289}{36}} = \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{36}} = \frac{17}{6};$

b) $\frac{\sqrt{147}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{147}{3}} = \sqrt{49} = 7.$

4. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai

Quy tắc: Cho hai số a, b với b ≥ 0. Khi đó $\sqrt{a^{2} \cdot b} = (a) \sqrt{b} .$

Cụ thể, ta có:

⦁Nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì $\sqrt{a^{2} b} = a \sqrt{b};$

⦁Nếu a < 0 và b ≥ 0 thì $\sqrt{a^{2} b} = - a \sqrt{b};$

Ví dụ 4.Rút gọn biểu thức sau: $\sqrt{50} + \sqrt{18} - 2 \sqrt{2} .$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\sqrt{50} + \sqrt{18} - 2 \sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} + \sqrt{9 \cdot 2} - 2 \sqrt{2}$

$= \sqrt{5^{2} \cdot 2} + \sqrt{3^{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{2} = 5 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} .$

5. Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai

Quy tắc:

⦁ Với a ≥ 0 và b ≥ 0 thì $a \sqrt{b} = \sqrt{a^{2} b};$

⦁ Nếu a < 0 và b ≥ 0 thì $a \sqrt{b} = - \sqrt{a^{2} b};$

a) $2 \sqrt{\frac{1}{2}};$

b) $5 \sqrt{\frac{2}{5}} - 2 \sqrt{10} .$

Hướng dẫn giải

a) $2 \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{2^{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{2};$

b) $5 \sqrt{\frac{2}{5}} - 2 \sqrt{10} = \sqrt{5^{2} \cdot \frac{2}{5}} - 2 \sqrt{10} = \sqrt{10} - 2 \sqrt{10} = - \sqrt{10} .$

Bài tập Một số phép tính về căn bậc hai của số thực

Bài 1.Cho a và b là hai số. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $a \sqrt{b} = \sqrt{a^{2} b}$ với mọi a, b;

B. $\sqrt{a^{2}} = - a$ khi a < 0;

C. $\sqrt{a b^{2}} = - b \sqrt{a}$ khi a ≥ 0 và b ≥ 0;

D. $\sqrt{- a b} = - \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ khi a ≥ 0 và b ≥ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

⦁ $\sqrt{a^{2}} = - a$ khi a < 0;

⦁ $a \sqrt{b} = \sqrt{a^{2} b}$ khi a ≥ 0 và b ≥ 0;

⦁ $\sqrt{a b^{2}} = - b \sqrt{a}$ khi a ≥ 0 và b < 0;

⦁ $\sqrt{- a b} = \sqrt{- a} \cdot \sqrt{b}$ khi a < 0 và b ≥ 0 hoặc $\sqrt{- a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{- b}$ khi a ≥ 0 và b < 0.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 2. Cho a, b là hai số và b ≠ 0. Rút gọn biểu thức ta được

A. $\frac{a^{2}}{b};$

B. $\frac{a}{b};$

C. $- \frac{a^{2}}{b};$

D. $\frac{a^{2}}{(b)} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\sqrt{\frac{a^{4}}{b^{2}}} = \sqrt{{(\frac{a^{2}}{b})}^{2}} = (\frac{a^{2}}{b}) = \frac{a^{2}}{(b)} .$

Bài 3. Cho ba số dương a, b, c. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\sqrt{\frac{a}{b c}} = \frac{\sqrt{a b c}}{b};$

B. $\sqrt{\frac{a}{b c}} = - \frac{\sqrt{a b c}}{b c};$

C. $\sqrt{\frac{a}{b c}} = \frac{\sqrt{a b c}}{b c};$

D. $\sqrt{\frac{a}{b c}} = \frac{a b c}{\sqrt{b c}} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Với a > 0, b > 0, c > 0, ta có:

$\sqrt{\frac{a}{b c}} = \sqrt{\frac{a b c}{{(b c)}^{2}}} = \frac{\sqrt{a b c}}{\sqrt{{(b c)}^{2}}} = \frac{\sqrt{a b c}}{|b c|} = \frac{\sqrt{a b c}}{b c} .$

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4. So sánh:

a) $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{7}}$ và 3;

b) $\sqrt{\frac{1}{2}} . \sqrt{\frac{9}{2}}$ và $\frac{3}{2};$

c) $\sqrt{50}$ và $5 \sqrt{5}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{49}{7}} = \sqrt{7}$

Vì $\sqrt{7} < \sqrt{9}$ hay $\sqrt{7} < 3$ nên $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{7}} < 3.$

b) Ta có: $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} .$

c) Ta có: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{5^{2} \cdot 2} = 5 \sqrt{2} .$

Vì $\sqrt{2} < \sqrt{5}$ nên $5 \sqrt{2} < 5 \sqrt{5} .$

Vậy $\sqrt{50} < 5 \sqrt{5} .$

Bài 5. Tính:

a) $\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}};$

b) $\sqrt{\sqrt{5} + 3} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{5}};$

c) $\frac{\sqrt{{(6, 2)}^{2} - {(5, 9)}^{2}}}{\sqrt{2, 43}};$

d) ${(\sqrt{6} - \sqrt{5})}^{2} + \sqrt{120} .$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} = \sqrt{4 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + 3} = \sqrt{2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2}}$

$= \sqrt{{(2 - \sqrt{3})}^{2}} = |2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$ (vì $2 - \sqrt{3} > 0$ > do $2 > \sqrt{3}) .$

/span>

b) $\sqrt{\sqrt{5} + 3} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}$

$= \sqrt{3^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{9 - 5} = \sqrt{4} = 2.$

c) $\frac{\sqrt{{(6, 2)}^{2} - {(5, 9)}^{2}}}{\sqrt{2, 43}} = \frac{\sqrt{(6, 2 - 5, 9) \cdot (6, 2 + 5, 9)}}{\sqrt{2, 43}}$

$= \frac{\sqrt{0, 3 \cdot 12, 1}}{\sqrt{2, 43}} = \frac{\sqrt{3, 63}}{\sqrt{2, 43}} = \sqrt{\frac{3, 63}{2, 43}} = \sqrt{\frac{363}{243}} = \sqrt{\frac{121}{81}} = \frac{11}{9} .$

d) ${(\sqrt{6} - \sqrt{5})}^{2} + \sqrt{120} = 6 - 2 \sqrt{6} \cdot \sqrt{5} + 5 + \sqrt{4 \cdot 30}$

$= 11 - 2 \sqrt{6 \cdot 5} + \sqrt{2^{2} \cdot 30} = 11 - 2 \sqrt{30} + 2 \sqrt{30} = 11.$

Học tốt Một số phép tính về căn bậc hai của số thực

Các bài học để học tốt Một số phép tính về căn bậc hai của số thực Toán lớp 9 hay khác:

Giải sgk Toán 9 Bài 2: Một số phép tính về căn bậc hai của số thực

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Cánh diều hay khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Cánh diều khác