Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (Lý thuyết Toán lớp 9) | Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 2: Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

– Khái niệm: Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là những số cho trước, a ≠ 0 hoặc b ≠ 0.

– Khái niệm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn:

Cho phương trình bậc nhất hai ẩn x, y:    ax + by = c.

Nếu ax₀ + by₀ = c là một khẳng định đúng thì cặp số (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của phương trình ax + by = c.

Ví dụ 1. Các phương trình x = 1; 2y = –3; x – 2y = 3 là các phương trình bậc nhất hai ẩn x, y.

Ví dụ 2. Trong các cặp số sau, cặp số nào là nghiệm của phương trình x – 2y = 3?

a) (1; 2);

b) (–1; –2);

c) (3; 0).

Hướng dẫn giải

⦁ Thay x = 1 và y = 2, ta có: 1 – 2.2 = –3 ≠ 3.

Vậy (1; 2) không là nghiệm của phương trình đã cho.

⦁ Thay x = –1 và y = –2, ta có: –1 – 2.(–2) = 3.

Vậy (–1; –2) là một nghiệm của phương trình đã cho.

⦁ Thay x = 3 và y = 0, ta có: 3 – 2.0 = 3.

Vậy (3; 0) là một nghiệm của phương trình đã cho.

Chú ý:

⦁ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình ax + by = c được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm (x₀; y₀) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (x₀; y₀).

⦁ Ta cũng áp dụng được quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân đã biết ở phương trình bậc nhất một ẩn để biến đổi phương trình bậc nhất hai ẩn.

Nhận xét:

⦁ Mỗi nghiệm của phương trình ax + 0y = c hay ax = c với a ≠ 0, được biểu diễn bởi một điểm có tọa độ $\left(\frac{c}{a};y_0\right)$ (y₀ ∈ ℝ) nằm trên đường thẳng $d_1:x=\frac{c}{a}.$ Đường thẳng d₁ là đường thẳng đi qua điểm $\frac{c}{a}$ trên trục Ox và vuông góc với trục Ox (Hình vẽ):

⦁ Mỗi nghiệm của phương trình 0x + by = c hay by = c với a ≠ 0, được biểu diễn bởi một điểm có tọa độ $\left(x_0;\frac{c}{b}\right)$ (x₀ ∈ ℝ) nằm trên đường thẳng $d_2:y=\frac{c}{b}.$ Đường thẳng d₂ là đường thẳng đi qua điểm $\frac{c}{b}$ trên trục Oy và vuông góc với trục Oy (Hình vẽ):

⦁ Mỗi nghiệm của phương trình ax + by = c với a ≠ 0, b ≠ 0, được biểu diễn bởi một điểm nằm trên đường thẳng $d_3:y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}.$ Đường thẳng d₃ là đồ thị của hàm số $d_3:y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$ (Hình vẽ):

Ví dụ 2.

a) Mỗi nghiệm của phương trình x = 1 được biểu diễn bởi điểm (1; y₀) (y₀ ∈ ℝ) nằm trên đường thẳng d₁: x = 1. Đường thẳng d₁ là đường thẳng đi qua điểm 1 trên trục Ox và vuông góc với trục Ox (Hình a).

b) Mỗi nghiệm của phương trình y = –1 được biểu diễn bởi điểm (x₀; –1) (x₀ ∈ ℝ) nằm trên đường thẳng d₂: y = –1. Đường thẳng d₂ là đường thẳng đi qua điểm –1 trên trục Oy và vuông góc với trục Oy (Hình b).

c) Mỗi nghiệm của phương trình x – 2y = 3 được biểu diễn bởi một điểm nằm trên đường thẳng $d_3:y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}.$ Đường thẳng d₃ là đồ thị của hàm số $d_3:y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$ (Hình c).

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

– Khái niệm: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a^{\text{'}}x+b^{\text{'}}y=c^{\text{'}}\end{array}\right.\left(I\right),$ ở đó mỗi phương trình ax + by = c và a’x + b’y = c’ đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.

– Khái niệm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Nếu cặp số (x₀; y₀) là nghiệm của từng phương trình trong hệ (I) thì cặp số (x₀; y₀) được gọi là nghiệm của hệ (I).

– Khái niệm giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó.

Ví dụ 3. Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: $\left\{\begin{array}{l}x-y=20\\ 10x-7y=24.\end{array}\right.$

Trong các cặp số sau, cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình đã cho?

a) (0; –20);

b) $\left(-\frac{116}{3};-\frac{176}{3}\right).$

Hướng dẫn giải

a) Thay x = 0 và y = –20 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

0 – (–20) = 20;

10.0 – 7.(–20) = 140 ≠ 24.

Do đó cặp số (0; –20) không là nghiệm của phương trình thứ hai trong hệ.

Vậy cặp số (0; –20) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

b) Thay $x=-\frac{116}{3}$ và $y=-\frac{176}{3}$ vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

$-\frac{116}{3}–\left(–\frac{176}{3}\right)=20;$

$10\cdot \left(-\frac{116}{3}\right)–7\cdot \left(–\frac{176}{3}\right)=24.$

Suy ra cặp số $\left(-\frac{116}{3};-\frac{176}{3}\right)$ là nghiệm của từng phương trình trong hệ.

Vậy cặp số $\left(-\frac{116}{3};-\frac{176}{3}\right)$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Bài tập Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1. Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8?

A. (–2; 1).

B. (0; 2).

C. (–1; 0).

D. (4; 3).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình 5x + 4y = 8:

⦁ Thay x = –2 và y = 1, ta có: 5.(–2) + 4.1 = –2 ≠ 8.

⦁ Thay x = 0 và y = 2, ta có: 5.0 + 4.2 = 8.

⦁ Thay x = –1 và y = 0, ta có: 5.(–1) + 4.0 = –5 ≠ 8.

⦁ Thay x = 4 và y = 3, ta có: 5.4 + 4.3 = 32 ≠ 8.

Vậy (0; 2) là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài 2. Đường thẳng d trong hình vẽ dưới đây biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn nào?

A. –2x + 0y = 0.

B. y = –2.

C. 0x + 2y = –4.

D. 2x + 0y = –4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d trong hình vẽ là đường thẳng đi qua điểm –2 trên trục Ox và vuông góc với trục Ox nên đường thẳng d biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình x = –2.

⦁ Xét phương án A: ta có phương trình –2x + 0y = 0, hay x = 0 (loại).

⦁ Xét phương án B: ta có phương trình y = –2 (loại).

⦁ Xét phương án C: ta có phương trình 0x + 2y = –4, hay y = –2 (loại).

⦁ Xét phương án D: ta có phương trình 2x + 0y = –4, hay x = –2.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 3. Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}4x-5y=3\\ 3x-y=16\end{array}\right.?$

A. (–1; 3).

B. (2; 1).

C. (7; 5).

D. (5; –1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

 ⦁ Thay x = –1 và y = 3 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

4.(–1) – 5.3 = –19 ≠ 3;

3.(–1) – 3 = –6 ≠ 16.

Do đó cặp số (–1; 3) không là nghiệm của mỗi phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (–1; 3) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

⦁ Thay x = 2 và y = 1 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

4.2 – 5.1 = 3;

3.2 – 1 = 5 ≠ 16.

Do đó cặp số (2; 1) không là nghiệm của phương trình thứ hai trong hệ.

Vậy cặp số (2; 1) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

⦁ Thay x = 7 và y = 5 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

4.7 – 5.5 = 3;

3.7 – 5 = 16.

Suy ra cặp số (7; 5) là nghiệm của từng phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (7; 5) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

⦁ Thay x = 5 và y = –1 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

4.5 – 5.(–1) = 25 ≠ 3;

3.5 – (–1) = 16.

Do đó cặp số (5; –1) không là nghiệm của phương trình thứ nhất trong hệ.

Vậy cặp số (5; –1) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ta chọn phương án C.

Bài 4. Xét trò ném đồng xu vào trong vòng tròn như hình vẽ dưới đây:

– Lượt chơi thứ nhất (ném đồng xu 2 lần): một đồng xu rơi vào phần trong (hình tròn màu trắng), một đồng xu rơi vào phần ngoài (hình vành khăn màu đen); tổng số điểm đạt được là 17 (điểm).

– Lượt chơi thứ hai (ném đồng xu 5 lần): hai đồng xu rơi vào phần trong, ba đồng xu rơi vào phần ngoài; tổng số điểm đạt được là 41 (điểm).

Gọi x, y lần lượt là số điểm ấn định cho phần trong và phần ngoài.

a) Viết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

b) Cặp số (10; 7) có phải là nghiệm của hệ phương trình ở câu a hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

a) – Lượt chơi thứ nhất có một đồng xu rơi vào phần trong và một đồng xu rơi vào phần ngoài, đạt được 17 điểm nên ta có phương trình: x + y = 17.

– Lượt chơi thứ hai có hai đồng xu rơi vào phần trong, ba đồng xu rơi vào phần ngoài, đạt được 41 điểm nên ta có phương trình: 2x + 3y = 41.

Vậy hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng là: $\left\{\begin{array}{l}x+y=17\\ 2x+3y=41.\end{array}\right.$

b) Thay x = 10 và y = 7 vào mỗi phương trình trong hệ ở câu a, ta có:

10 + 7 = 17;

2.10 + 3.7 = 41.

Suy ra cặp số (10; 7) là nghiệm của từng phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (10; 7) là nghiệm của hệ phương trình ở câu a.

Học tốt Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Các bài học để học tốt Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Bài 2: Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Cánh diều hay khác:

• Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

• Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 1

• Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức

• Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

• Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 2

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Cánh diều
• Giải SBT Toán 9 Cánh diều
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---