Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông (Lý thuyết Toán lớp 9) | Cánh diều
Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 2: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.
Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
1. Tính cạnh góc vuông theo cạnh huyền và tỉ số lượng giác của góc nhọn
Định lí: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin của góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.
Trong hình vẽ trên, ta có:
⦁ AC = BC.sinB = BC.cosC;
⦁ AB = BC.sinC = BC.cosB.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 12 cm, Tính AB, AC (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Hướng dẫn giải
Tam giác ABC vuông tại A, có:
⦁ AB = BC.cosB = 12.cos40° ≈ 9,19 (cm);
⦁ AC = BC.sinB = 12.sin40° ≈ 7,71 (cm);
Vậy AB ≈ 9,19 cm và AC ≈ 7,71 cm.
Ví dụ 2. Một chiếc thang dài 4 m. Cần đặt chân thang cách chân tường bao nhiêu mét để tạo với mặt đất một góc “an toàn” là 65° (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Hướng dẫn giải
Đặt các điểm A, B, C như hình vẽ.
Tam giác ABC vuông tại B nên (m)
Vậy cần đặt chân thang cách chân tường khoảng 1,69 mét để tạo với mặt đất một góc “an toàn” là 65°.
2. Tính cạnh góc vuông theo cạnh góc vuông còn lại và tỉ số lượng giác của góc nhọn
Định lí: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang của góc đối hoặc nhân với côtang của góc kề.
Trong hình vẽ trên, ta có:
⦁ AC = AB.tanB = AB.cotC;
⦁ AB = AC.tanC = AC.cotB.
Ví dụ 3.Một cái cây có bóng trên mặt đất dài 7,5 m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 42°. Tính chiều cao của cái cây đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Hướng dẫn giải
Gọi AB là chiều cao của cái cây, AC là bóng của cái cây đó.
Tam giác ABC vuông tại A: AB = AC.tanC = 7,5.tan42° ≈ 6,75 (m)
Vậy chiều cao của cái cây đó khoảng 6,75 m.
3. Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để giải tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, nếu cho biết độ dài hai cạnh hoặc độ dài một cạnh và số đo một góc nhọn thì ta sẽ tìm được tất cả độ dài các cạnh và số đo các góc còn lại của tam giác đó. Bài toán đặt ra như thế gọi là bài toán “giải tam giác vuông”.
Lưu ý rằng, trong kết quả của các ví dụ sau đây, nếu không nói gì thêm thì ta làm tròn đến hàng đơn vị của độ (với số đo góc) và đến hàng phần mười của centimét (với số đo độ dài).
Ta sẽ tìm hiểu bài toán giải tam giác vuông qua những ví dụ cụ thể sau đây.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 26 cm, AB = 10 cm. Tính số đo các góc và độ dài cạnh AC.
Hướng dẫn giải
Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
⦁ . Suy ra
⦁ . Suy ra
Tam giác ABC vuông tại A: BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pythagore)
Suy ra AC2 = BC2 – AB2 = 262 – 102 = 576
Do đó AC = 24 (cm).
Vậy ; và AC = 24 cm.
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 21 cm; Tính:
a) AC, BC.
b) Số đo .
c) Độ dài đoạn thẳng BD với BD là phân giác của góc ABC.
Hướng dẫn giải
a) Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
⦁ AC = AB.cotC = 21.cot38° ≈ 26,9 (cm);
⦁ AB = BC.sinC hay (cm).
Vậy AC ≈ 26,9 cm và BC ≈ 34,1 cm.
b) Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
(tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°).
Suy ra .
c) Ta có BD là phân giác của nên .
Tam giác ABD vuông tại A nên .
Suy ra (cm)
Vậy BD ≈ 23,4 cm.
Bài tập Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Bài 1. Cho tam giác MNP vuông tại N. Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. MN = MP.sinP;
B. MN = MP.cosP;
C. MN = MP.tanP;
D. MN = MP.cotP.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tam giác MNP vuông tại N nên MN = MP.sinP.
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 20 cm, . Độ dài các cạnh AB, BC lần lượt là
A. cm và 40 cm;
B. cm và cm;
C. 20 cm và 40 cm;
D. 20 cm và cm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
⦁AB = AC.tanC = 20.tan60° = cm;
⦁AC = BC.cosC, suy ra cm.
Vậy cm, BC = 40 cm. Ta chọn phương án A.
Bài 3. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, . Biết AB = 2, . Diện tích (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) của hình thang ABCD là
A. SABCD ≈ 2 (đvdt);
B. SABCD ≈ 3 (đvdt);
C. SABCD ≈ 4 (đvdt);
D. SABCD ≈ (đvdt).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Kẻ BE ⊥ CD tại E.
Ta có nên tứ giác ABED là hình chữ nhật.
Do đó và DE = AB = 2.
Tam giác BEC vuông tại E nên .
Suy ra .
Do đó DC = DE + EC ≈ 2 + 1 = 3.
Diện tích hình thang vuông ABCD là:
(đvdt).
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao CH = . Giải tam giác ABC (làm tròn đến hàng phần mười củađơn vị độ dài).
Hướng dẫn giải
Vì tam giác ABC cân tại A nên .
Tam giác ABC, có: (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra .
Tam giác BCH vuông tại H nên .
Suy ra .
Tam giác AHC vuông tại H nên .
Suy ra
Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC ≈ 4,7.
Vậy AB = AC ≈ 4,7; BC ≈ 4; và .
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H ∈ BC).
a) Cho BC = 12; CH = 9. Tính số đo .
b) Lấy điểm D nằm giữa hai điểm A và C. Kẻ AK ⊥ BD. Chứng minh rằng BK.BD = BH.BC.
Hướng dẫn giải
a) Ta có BH = BC – CH = 12 – 9 = 3.
Xét ∆ABH và ∆CBA, có:
;
chung.
Do đó ∆ABH ᔕ ∆CBA (g.g).
Suy ra .
Khi đó AB2 = BC.BH = 12.3 = 36.
Vì vậy AB = 6.
Tam giác ABC vuông tại A nên .
Suy ra .
b) Xét ∆ABK và ∆DBA, có:
;
chung.
Do đó ∆ABK ᔕ ∆DBA (g.g)
Suy ra nên AB2 = BD.BK.
Mà AB2 = BC.BH (câu a)
Vậy BK.BD = BH.BC.
Bài 6. Một cần cẩu đang nâng một khối gỗ trên sông. Biết tay cẩu có chiều dài là 16 m và nghiêng một góc 35° so với phương nằm ngang (như hình vẽ).Tính chiều dài của đoạn dây cáp (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Dựa vào hình vẽ, ta thấy:
⦁ Tay cẩu là đoạn AB có độ dài là 16 m;
⦁ Tay cẩu nghiêng một góc 35° so với phương nằm ngang, tức là
⦁ Chiều dài đoạn dây cáp là đoạn BC.
Tam giác ABC vuông tại C nên:
(m).
Vậy chiều dài của đoạn dây cáp bằng khoảng 9,2 m.
Học tốt Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Các bài học để học tốt Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán lớp 9 hay khác:
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Cánh diều hay khác:
Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn
Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:
- Giải sgk Toán 9 Cánh diều
- Giải SBT Toán 9 Cánh diều
- Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)
- Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
- Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)
- Soạn văn 9 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 9 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 9 - Cánh diều
- Giải Tiếng Anh 9 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 9 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 9 Friends plus
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 9 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 9 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 9 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 9 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 9 - Cánh diều
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - Cánh diều