Phép nhân và phép chia đa thức một biến (Lý thuyết Toán lớp 7) - Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 4: Phép nhân và phép chia đa thức một biến hay nhất, chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.

Lý thuyết Phép nhân và phép chia đa thức một biến

1. Phép nhân đa thức một biến

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân:

a) 3x. (2x² – 4x + 5);

b) (2x + 3). (x + 1).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 3x. (2x² – 4x + 5) = 3x. 2x² + 3x. (–4x) + 3x. 5

= 6x³ – 12x + 15x;

b) Ta có: (2x + 3). (x + 1) = 2x. (x + 1) + 3. (x + 1)

= 2x. x + 2x. 1 + 3. x + 3. 1

= 2x² + 2x + 3x + 3

= 2x² + (2x + 3x) + 3

= 2x² + 5x + 3.

2. Phép chia đa thức một biến

Trường hợp 1: Chia đa thức cho đa thức (chia hết)

Cho hai đa thức P và Q (với Q ≠ 0). Ta nói đa thức P chia hết cho đa thức Q nếu có đa thức M sao cho P = Q. M.

Ta gọi P là đa thức bị chia, Q là đa thức chia và M là đa thức thương (gọi tắt là thương).

Kí hiệu M = P : Q hoặc M = $\frac{P}{Q}$.

Ví dụ: Thực hiện phép chia 6x⁶− 8x⁵ + 10x⁴ cho 2x³.

Hướng dẫn giải:

Ta có: (6x⁶ − 8x⁵ + 10x⁴): 2x³

= (6x⁶ : 2x³) – (8x⁵: 2x³) + (10x⁴ : 2x³)

= 3x³ − 4x² + 5x.

Chú ý: Để thực hiện phép chia đa thức, người ta thường viết các đa thức đó thành đa thức thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo lũy thừa giảm dần rồi thực hiện phép chia.

Trường hợp 2: Chia đa thức cho đa thức (phép chia có dư)

Khi chia đa thức A cho đa thức B với thương là Q, dư là R thì A = B. Q + R, trong đó bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

Ví dụ: Thực hiện phép chia: P(x) = 3x² − 5x + 2 cho Q(x) = x – 2.

Hướng dẫn giải: Thực hiện phép chia, ta được:

Do đó phép chia đa thức P(x) cho Q(x) là phép chia có dư với số dư là 4.

Vậy 3x² − 5x + 2= (x – 2). (3x + 1) + 4.

3. Tính chất của phép nhân đa thức một biến

Tính chất: Cho A, B, C là các đa thức một biến với cùng một biến số.

-Tính chất giao hoán: A. B = B. A;

-Tính chất kết hợp: A. (B. C) = (A. B). C.

Ví dụ: Thực hiện phép tính: 6. (x² – 2).$\frac{1}{2}$;

Hướng dẫn giải:

Ta có: 6. (x² – 2).$\frac{1}{2}$= 6. $\left((x^2-2).\frac{1}{2}\right)=\left(6.\frac{1}{2}\right).(x^2-2)$

= 3. (x² – 2) = 3x² – 6.

Bài tập Phép nhân và phép chia đa thức một biến

Bài 1. Thực hiện phép nhân

a) (4x – 3)(x + 2);

b) (5x + 2)(–x² + 3x +1);

c) (2x² – 7x + 4)(–3x² + 6x + 5).

Hướng dẫn giải:

a) (4x – 3)(x + 2) = 4x(x + 2) – 3(x + 2)

= 4x² + 8x – 3x – 6 = 4x² + 5x – 6;

b) (5x + 2)(–x² + 3x +1)

= 5x(–x² + 3x +1) + 2(–x² + 3x +1)

= –5x³ + 15x² + 5x – 2x² + 6x + 2

= –5x³ + (15x²– 2x²) + (5x + 6x) + 2

= –5x³ + 13x² + 11x + 2.

c) (2x² – 7x + 4)(–3x² + 6x + 5)

= 2x²(–3x² + 6x + 5) – 7x(–3x² + 6x + 5) + 4(–3x² + 6x + 5)

= –6x⁴ + 12x³ + 10x² + 21x³ – 42x² – 35x – 12x² + 24x + 20

= –6x⁴ + (12x³ + 21x³) + (10x² – 42x² – 12x²) + (– 35x + 24x) + 20

= –6x⁴ + 33x³ – 44x² – 11x + 20.

Bài 2: Thực hiện phép chia:

a) (8x⁶ − 4x⁵ + 12x⁴ – 20x³): 4x³;

b) (2x² − 5x + 3): (2x – 3).

Hướng dẫn giải:

a) (8x⁶ − 4x⁵ + 12x⁴ – 20x³) : 4x³

= (8x⁶ : 4x³) – (4x⁵ : 2x³) + (12x⁴ : 4x³) – (20x³ : 4x³)

= 2x³ − 2x² + 3x – 5;

b) Ta có:

Vậy (2x²− 5x + 3) = (2x – 3)$\left(x-\frac{1}{2}\right)$ + 2.

Bài 3. Rút gọn biểu thức bằng cách nhanh nhất:

a) 5. (x² + 3).$\frac{2}{5}$;

b) (x – 2).(2x³ – x² + 1) + (x – 2)x²(1 – 2x).

Hướng dẫn giải:

a) 5. (x²+ 3). $\frac{2}{5}$= $\left(5.\frac{2}{5}\right)$. (x²+ 3)

=2. (x²+ 3) = 2x² + 6

b) (x – 2)(2x³ – x² + 1) + (x – 2)x²(1 – 2x)

= (x – 2)(2x³ – x² + 1) + (x – 2)(x².1 – x².2x)

= (x – 2)(2x³ – x² + 1) + (x – 2)(x² – 2x³)

= (x – 2)(2x³ – x² + 1 + x² – 2x³)

= (x – 2).1

= (x – 2).

Bài 4:Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B hay không?

a) A = 15x⁴ – 8x³ + x²; B = $\frac{1}{2}$x²;

b) A = x² – 2x + 1; B = x + 1.

Hướng dẫn giải:

a)Ta có: Vì 15x⁴; 8x³; x² đều chứa phần từ x² nên đều chia hết cho $\frac{1}{2}$x²

Do đó đa thức A chia hết cho B.

b) Ta có:

A = x² + 2x + 1

= x(x + 1) + (x + 1)

= (x + 1)(x + 1)

= (x + 1)²

Vì (x + 1)² chứa phần tử (x + 1) nên chia hết cho (x + 1)

Do đó đa thức A chia hết cho B.

Học tốt Phép nhân và phép chia đa thức một biến

Các bài học để học tốt Phép nhân và phép chia đa thức một biến Toán lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Bài 4: Phép nhân và phép chia đa thức một biến

• Giải sbt Toán 7 Bài 4: Phép nhân và phép chia đa thức một biến

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Tổng hợp lý thuyết Toán 7 Chương 6

• Lý thuyết Toán 7 Bài 1: Biểu thức số, biểu thức đại số

• Lý thuyết Toán 7 Bài 2: Đa thức một biến

• Lý thuyết Toán 7 Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

• Tổng hợp lý thuyết Toán 7 Chương 7

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 7 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)

---