Tính chất ba đường phân giác của tam giác (Lý thuyết Toán lớp 7) - Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác hay nhất, chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.

Lý thuyết Tính chất ba đường phân giác của tam giác

1. Đường phân giác của tam giác

– Trong tam giác ABC (hình vẽ bên dưới), tia phân giác của $\hat{\text{A}}$ cắt cạnh BC tại D. Khi đó, đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC.

Đôi khi, đường thẳng AD cũng được gọi là đường phân giác của ∆ABC.

Ví dụ: Quan sát hình vẽ và chỉ ra các đường phân giác trong ∆ABC (nếu có):

Hướng dẫn giải

Quan sát hình vẽ trên, ta có:

$\widehat{\text{BAD}}=\widehat{\text{CAD}}=30°$ và D là giao điểm của tia phân giác $\widehat{\text{BAC}}$ với cạnh BC. Do đó đoạn thẳng AD là đường phân giác của ∆ABC.

$\widehat{\text{ACF}}=\widehat{\text{FCB}}=28°$ và F là giao điểm của tia phân giác $\widehat{\text{ACB}}$ với cạnh AB. Do đó đoạn thẳng CF là đường phân giác của ∆ABC.

Đoạn thẳng BE không là đường phân giác của ∆ABC vì BE không là tia phân giác của $\widehat{\text{ABC}}$ của tam giác ABC.

Nhận xét: Mỗi tam giác có ba đường phân giác.

Ví dụ:

∆ABC có ba đường phân giác AE; BF; CK xuất phát từ ba đỉnh của tam giác này.

2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

– Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm

Nhận xét:

+ Để xác định giao điểm ba đường phân giác của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường phân giác bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

+ Giao điểm ba đường phân giác của một tam giác cách đều ba cạnh của tam giác đó.

– Vậy, trong một tam giác ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác.

Ví dụ: Cho ∆DEF có I là giao điểm của ba đường phân giác. Kẻ IH ⊥ EF tại H ; IK ⊥ DF tại K. Chứng minh rằng: IF là đường trung trực của đoạn thẳng HK.

Hướng dẫn giải

Theo bài ta có: IH ⊥ EF tại H; IK ⊥ DF tại K nên IH; IK lần lượt là khoảng cách từ điểm I tới cạnh EF và DF.

Mà I là giao điểm của ba đường phân giác của ∆DEF (giả thiết)

Do đó IH = IK (tính chất ba đường phân giác của tam giác)

Suy ra I nằm trên đường trung trực của HK (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)(1)

Xét ∆IKF và ∆IHF có:

$\widehat{\text{IKF}}=\widehat{\text{IHF}}=90°$ (IH ⊥ EF tại H ; IK ⊥ DF tại K),

IH = IK (chứng minh trên),

IF là cạnh chung.

Do đó ∆IKF = ∆IHF (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra FK = FH (hai cạnh tương ứng)

Suy ra F nằm trên đường trung trực của HK (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra I và F nằm trên đường trung trực của HK

Hay IF là đường trung trực của HK

Vậy IF là đường trung trực củađoạn thẳng HK.

Bài tập Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 1. Cho ∆ABC có $\widehat{\text{BAC}}=60°$, AM là đường phân giác của $\widehat{\text{BAC}}$ đồng thời là đường trung tuyến. Qua M kẻ MH ⊥ AB tại H; MK ⊥ AC tại K. Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác đều.

Hướng dẫn giải

Xét ∆AHM và ∆AKM có:

$\widehat{\text{AHM}}=\widehat{\text{AKM}}=90°$(vì MH ⊥ AB tại H; MK ⊥ AC tại K),

AM là cạnh chung,

$\widehat{\text{HAM}}=\widehat{\text{KAM}}$ (AM là đường phân giác của $\widehat{\text{BAC}}$ ).

Do đó ∆AHM = ∆AKM (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra HM = KM (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆BHM và ∆CKM có:

$\widehat{\text{BHM}}=\widehat{\text{CKM}}=90°$(vì MH ⊥ AB tại H; MK ⊥ AC tại K),

BM = CM (AM là đường trung tuyến của ∆ABC),

HM = KM (chứng minh trên).

Do đó ∆BHM = ∆CKM (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\hat{\text{B}}=\hat{\text{C}}$ (hai góc tương ứng)

Xét ∆ABC có $\hat{\text{B}}=\hat{\text{C}}$ suy ra ∆ABC cân tại A.

Ta lại có ∆ABC cân tại A có $\widehat{\text{BAC}}=60°$ nên ∆ABC là tam giác đều.

Vậy ∆ABC là tam giác đều.

Bài 2. Cho ∆DEF cân tại D có $\widehat{\text{EDF}}=40°$ và DM là đường trung tuyến. Tia phân giác của $\hat{\text{E}}$ cắt DM ở N. Tính $\widehat{\text{MFN}}$ ?

Hướng dẫn giải

Xét ∆DEF có $\widehat{\text{EDF}}+\widehat{\text{DEF}}+\widehat{\text{DFE}}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Hay $\widehat{\text{DEF}}+\widehat{DFE}=180°-\widehat{\text{EDF}}=180°-40°=140°$

Ta lại có $\widehat{\text{DEF}}=\widehat{\text{DFE}}$ (vì ∆DEF cân tại D)

Suy ra $\widehat{\text{DEF}}=\widehat{\text{DFE}}=\frac{140°}{2}=70°$

Xét ∆DEM và ∆DFM có:

DE = DF (vì ∆DEF cân tại D),

DM là cạnh chung,

EM = FM (do M là trung điểm của EF),

DM là cạnh chung.

Vậy DDEM = DDFM (c.c.c)

Suy ra $\widehat{EDM}=\widehat{FDM}$ (hai góc tương ứng)

Do đó DM là đường phân giác của $\widehat{EDF}$ .

Lại có EN là đường phân giác của $\widehat{DEF}$

Mà DM cắt EN tại N.

Do đó FN là đường phân giác của tam giác DEF.

Suy ra $\widehat{DFN}=\widehat{NFE}=\frac{1}{2}\widehat{DFM}$ (tính chất tia phân giác)

Mà $\widehat{\text{DFM}}=70°$

Suy ra $\widehat{\text{DFN}}=\widehat{\text{NFM}}=\frac{70°}{2}=35°$

Vậy $\widehat{\text{MFN}}=35°$ .

Bài 3. Cho ∆ABC các tia phân giác của $\widehat{\text{ABC}}$ và $\widehat{\text{BAC}}$ cắt nhau tại điểm O. Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M, cắt AC ở N. Cho BM = 4 cm, CN = 5 cm. Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Hướng dẫn giải

Vì O là giao điểm các tia phân giác của $\widehat{\text{ABC}}$ và $\widehat{\text{BAC}}$ nên CO là tia phân giác $\widehat{\text{ACB}}$

Suy ra $\widehat{\text{NCO}}=\widehat{\text{OCB}}$ (1)

Mà $\widehat{\text{NOC}}=\widehat{\text{OCB}}$ (hai góc so le trong vì MN // BC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\text{NCO}}=\widehat{\text{NOC}}$ suy ra ∆NOC cân tại N.

Nên NO = NC.

Vì BO là phân giác của $\widehat{\text{ABC}}$ suy ra $\widehat{\text{MBO}}=\widehat{\text{OBC}}$ (3)

Do MN // BC nên $\widehat{\text{MOB}}=\widehat{\text{OBC}}$ (hai góc ở vị trí so le trong) (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat{\text{MBO}}=\widehat{\text{MOB}}$ suy ra ∆MBO cân tại B

Suy ra MB = MO.

Ta có MN = MO + ON = MB + NC (vì NO = NC; MB = MO)

Hay MN = 4 + 5 = 9 (cm).

Vậy MN = 9 cm.

Bài 4. Cho ∆ABC vuông tại A có I là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác. Gọi E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến cạnh AB và AC. Chứng minh IE = IF = EA = FA.

Hướng dẫn giải

Theo bài ta có: I là giao điểm của ba đường phân giác trong ∆ABC.

Do đó AI là phân giác $\widehat{\text{BAC}}$ hay $\widehat{\text{EAF}}$ .

Suy ra $\widehat{\text{EAI}}=\widehat{\text{FAI}}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$ (tính chất tia phân giác)

Mà $\widehat{BAC}=90°$ nên $\widehat{\text{EAI}}=\widehat{\text{FAI}}=\frac{90°}{2}=45°$

∆AEI vuông tại E có $\widehat{\text{EAI}}=45°$ nên ∆AEI vuông cân tại E.

Suy ra EA = EI (tính chất tam giác cân) (1)

∆AFI vuông tại F có $\widehat{\text{FAI}}=45°$ nên ∆AFI vuông cân tại F.

Suy ra FA = FI (tính chất tam giác cân) (2)

Do I là giao điểm của ba đường phân giác trong ∆ABC và IE; IF lần lượt là khoảng cách từ I đến cạnh AB; AC (vì E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến cạnh AB và AC)

Nên IE = IF (tính chất ba đường phân giác trong tam giác) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra IE = IF = EA = FA.

Vậy IE = IF = EA = FA.

Học tốt Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Các bài học để học tốt Tính chất ba đường phân giác của tam giác Toán lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

• Giải sbt Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

• Lý thuyết Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

• Lý thuyết Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

• Lý thuyết Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

• Tổng hợp lý thuyết Toán 7 Chương 7

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Cánh diều
• Giải SBT Toán 7 Cánh diều
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---