Giải Toán 12 trang 14 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 12 trang 14 Tập 1 trong Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 14.

Bài 1.6 trang 14 Toán 12 Tập 1: Đồ thị của đạo hàm bậc nhất y = f'(x) của hàm số f(x) được cho trong hình 1.13.

a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.

b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại và cực tiểu? Giải thích.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị của hàm y = f'(x), ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau

a) Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (2; 4) và (6; +∞).

b) Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và x = 6.

Hàm số đạt cực đại tại x = 4.

Bài 1.7 trang 14 Toán 12 Tập 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x³ – 9x² + 12x – 5;

b) y = x⁴ – 4x² + 2;

c) $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$;

d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = 6x² – 18x + 12; y' = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và y_CĐ = 0.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y_CT = −1.

b) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = 4x³ – 8x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc $x=-\sqrt{2}$ hoặc $x=\sqrt{2}$.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-\sqrt{2}$ và y_CT = −2.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = 2.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\sqrt{2}$ và y_CT = −2.

c) Tập xác định của hàm số là ℝ\{1}.

Có $y^{\text{'}}=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-2x+3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}$;

Có y' = 0 ⇔ x² – 2x – 1 = 0 $\iff x=1-\sqrt{2}$ hoặc $x=1+\sqrt{2}$.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại $x=1-\sqrt{2}$ và $y_{CĐ}=-2\sqrt{2}$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1+\sqrt{2}$ và $y_{CT}=2\sqrt{2}$.

d) Tập xác định của hàm số là D = [0; 2].

Có $y^{\text{'}}=\frac{{\left(4x-2x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{4x-2x^2}}=\frac{2\left(1-x\right)}{\sqrt{4x-2x^2}}$.

Có y' = 0 ⇔ x = 1.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và $y_{CĐ}=\sqrt{2}$.

Hàm số không có cực tiểu.

Bài 1.8 trang 14 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) = |x|.

a) Tính các giới hạn $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$ và $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$.

Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại x = 0 (xem hình 1.4).

Lời giải:

a) $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|x\right|-0}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x}{x}=1.$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\left|x\right|-0}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-x}{x}=-1.$

Do $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\ne \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$ nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

b) Theo định nghĩa, hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = x₀ nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) và  x ≠ x₀ .

Ở đây, x₀ = 0. Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(0) với mọi x ∈ (– h; h).

Với mọi x ∈ (– h; h), ta có |x| < h.

Mà |x| > 0, với mọi x ≠ 0. Do đó f(x) = |x| > 0 = f(0), với mọi x ∈ (– h; h) và x ≠ 0.

Vậy ta chứng minh được rằng với mọi x ∈ (– h; h) và x ≠ x₀, f(x) > f(0). Điều này chứng tỏ rằng hàm số có cực tiểu tại x = 0.

Bài 1.9 trang 14 Toán 12 Tập 1: Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f\left(t\right)=\frac{5000}{1+5e^{-t}},t\ge \mathrm{0,}$ trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f'(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Lời giải:

Có $f\left(t\right)=\frac{5000}{1+5e^{-t}}=\frac{5000e^t}{e^t+5}$.

Có $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{5000e^t\left(e^t+5\right)-5000e^{2t}}{{\left(e^t+5\right)}^2}=\frac{25000e^t}{{\left(e^t+5\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall t>0$.

Và $\underset{t\to +\infty }{\lim }f\left(t\right)=5000$. Do đó, doanh số luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá 5 000.

Có $f"\left(t\right)=\frac{25000e^t.{\left(e^t+5\right)}^2-50000e^t\left(e^t+5\right)e^t}{{\left(e^t+5\right)}^4}$

$=\frac{25000e^t.\left(e^t+5\right)\left(e^t+5-2e^t\right)}{{\left(e^t+5\right)}^4}$

$=\frac{25000e^t.\left(5-e^t\right)}{{\left(e^t+5\right)}^3}$

Có f"(t) = 0 ⇔ 5 – e^t = 0 ⇔ t = ln5.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f'(t) đạt giá trị lớn nhất tại t = ln5 ≈ 1,6 và $\underset{t\ge 0}{\max }{f}^{\text{'}}\left(t\right)=f^{\text{'}}\left(\ln 5\right)=1250$.

Vậy sau khi phát hành sản phẩm khoảng 1,6 năm thì tốc độ bán hàng lớn nhất.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số hay khác:

• Giải Toán 12 trang 6
• Giải Toán 12 trang 7
• Giải Toán 12 trang 9
• Giải Toán 12 trang 10
• Giải Toán 12 trang 12
• Giải Toán 12 trang 13

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

• Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

• Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

• Toán 12 Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

• Toán 12 Bài tập cuối chương 1

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---