Bài 1.9 trang 14 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Bài 1.9 trang 14 Toán 12 Tập 1: Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f (t) = \frac{5000}{1 + 5 e^{- t}}, t \geq 0,$ trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f'(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Lời giải:

Có $f (t) = \frac{5000}{1 + 5 e^{- t}} = \frac{5000 e^{t}}{e^{t} + 5}$ .

Có $f^{'} (t) = \frac{5000 e^{t} (e^{t} + 5) - 5000 e^{2 t}}{{(e^{t} + 5)}^{2}} = \frac{25000 e^{t}}{{(e^{t} + 5)}^{2}} > 0, \forall t > 0$ .

Và $\lim_{t \to + \infty} f (t) = 5 000$ . Do đó, doanh số luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá 5 000.

Có $f " (t) = \frac{25000 e^{t} . {(e^{t} + 5)}^{2} - 50000 e^{t} (e^{t} + 5) e^{t}}{{(e^{t} + 5)}^{4}}$

$= \frac{25000 e^{t} . (e^{t} + 5) (e^{t} + 5 - 2 e^{t})}{{(e^{t} + 5)}^{4}}$

$= \frac{25000 e^{t} . (5 - e^{t})}{{(e^{t} + 5)}^{3}}$

Có f"(t) = 0 ⇔ 5 – e^t = 0 ⇔ t = ln5.

Ta có bảng biến thiên

Bài 1.9 trang 14 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f'(t) đạt giá trị lớn nhất tại t = ln5 ≈ 1,6 và $\max_{t \geq 0} f^{'} (t) = f^{'} (\ln 5) = 1 250$ .

Vậy sau khi phát hành sản phẩm khoảng 1,6 năm thì tốc độ bán hàng lớn nhất.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Kết nối tri thức khác