Giải Toán 12 trang 6 Tập 2 Cánh diều

Với Giải Toán 12 trang 6 Tập 2 trong Bài 1: Nguyên hàm Toán 12 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 6.

Luyện tập 4 trang 6 Toán 12 Tập 2: Chứng tỏ rằng $\int \left(n+1\right)x^{n}dx=x^{n+1}+C$ với n là số nguyên dương.

Lời giải:

Do (x^{n + 1})' = (n + 1)xⁿ nên x^{n + 1} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (n + 1)xⁿ trên ℝ.

Vậy $\int \left(n+1\right)x^{n}dx=x^{n+1}+C$

Hoạt động 4 trang 6 Toán 12 Tập 2: Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K.

a) Giả sử F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) trên K. Hỏi F(x) + G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K hay không?

b) Giả sử H(x), F(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x) + g(x), f(x) trên K. Đặt G(x) = H(x) – F(x) trên K. Hỏi G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số g(x) trên K hay không?

c) Nêu nhận xét về $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$ và $\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$

Lời giải:

a) Vì F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) trên K nên ta suy ra F'(x) = f(x), G'(x) = g(x).

Do đó, F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x).

Mà F'(x) + G'(x) = [F(x) + G(x)]' nên [F(x) + G(x)]' = f(x) + g(x).

Từ đó suy ra F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Vì H(x), F(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x) + g(x), f(x) trên K nên ta suy ra H'(x) = f(x) + g(x), F'(x) = f(x).

Ta có G(x) = H(x) – F(x).

Suy ra G'(x) = [H(x) – F(x)]' = H'(x) – F'(x) = f(x) + g(x) – f(x) = g(x).

Vậy G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên K.

c) Từ câu a, ta suy ra $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=F\left(x\right)+G\left(x\right)+C$ . (1)

Lại có $\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)+C_1\right]+\left[G\left(x\right)+C_2\right]=F\left(x\right)+G\left(x\right)+\left(C_1+C_2\right)$ .

Vì C, C₁, C₂ là các hằng số tùy ý trên K nên ta có C₁ + C₂ = C tùy ý trên K.

Do đó, $\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx=F\left(x\right)+G\left(x\right)+C$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm hay khác:

• Giải Toán 12 trang 3
• Giải Toán 12 trang 4
• Giải Toán 12 trang 5
• Giải Toán 12 trang 7
• Giải Toán 12 trang 8

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

• Toán 12 Bài 3: Tích phân

• Toán 12 Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

• Toán 12 Bài tập cuối chương 4

• Toán 12 Chủ đề 2: Thực hành tạo đồng hồ Mặt Trời

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---