Giải Toán 12 trang 5 Tập 2 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 12 trang 5 Tập 2 trong Bài 1: Nguyên hàm Toán 12 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 5.

Luyện tập 3 trang 5 Toán 12 Tập 2: Chứng tỏ rằng $\int k x^{2} d x = \frac{k}{3} x^{3} + C (k \neq 0)$

Lời giải:

Do ${(\frac{k}{3} x^{3})}^{'} = 3 \cdot \frac{k}{3} x^{2} = k x^{2}$ nên $\frac{k}{3} x^{3}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = kx² trên ℝ.

Vậy $\int k x^{2} d x = \frac{k}{3} x^{3} + C (k \neq 0)$

Hoạt động 3 trang 5 Toán 12 Tập 2: Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là hằng số thực khác 0.

a) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hỏi kF(x) có phải là nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K hay không?

b) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K. Đặt G(x) = kH(x) trên K. Hỏi H(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K hay không?

c) Nêu nhận xét về $\int k f (x) d x$ và $k \int f (x) d x$ .

Lời giải:

a) Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nên F'(x) = f(x).

Suy ra kF'(x) = kf(x). Vì k là hằng số thực khác 0 nên kF'(x) = (kF(x))'.

Do đó, (kF(x))' = kf(x). Vậy kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

b) Vì G(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K nên G'(x) = kf(x).

Lại có G(x) = kH(x), lấy đạo hàm hai vế ta được G'(x) = kH'(x).

Từ đó suy ra kH'(x) = kf(x), tức là H'(x) = f(x). Vậy H(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

c) Từ câu a, ta có $\int k f (x) d x = k F (x) + C$ . (1)

Lại có $\int f (x) d x = F (x) + C_{1}$ , suy ra $k \int f (x) d x = k (F (x) + C_{1}) = k F (x) + k C_{1}$ .

Vì C₁ tùy ý thuộc ℝ và k ≠ 0 nên C = kC₁ tùy ý thuộc ℝ.

Do đó, $k \int f (x) d x = k F (x) + C$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Cánh diều khác