Bài 9 trang 41 Toán 12 Tập 2 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Bài 9 trang 41 Toán 12 Tập 2: Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Giả sử $\hat{P O M} = α, O M = l (0 \leq α \leq \frac{π}{3}; l > 0)$

Gọi 𝒩 là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (Hình 35). Tính thể tích của 𝒩 theo α và ℓ.

Bài 9 trang 41 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Lời giải:

Cách 1:

Tam giác OMP là tam giác vuông tại P nên:

OP = OM ∙ $\cos \hat{P O M}$ = ℓ ∙ cos α;

MP = OM ∙ $\sin \hat{P O M}$ = ℓ ∙ sin α;

Khi đó, điểm M có tọa độ là $\{\begin{cases} x_{M} = O P = l \cdot \cos α \\ y_{M} = M P = l \cdot \sin α \end{cases}$ . Suy ra $\{\begin{cases} l = \frac{x_{M}}{\cos α} \\ y_{M} = \frac{x_{M}}{\cos α} \cdot \sin α \end{cases}$ .

Suy ra y_M = x_M ∙ tan α. Do đó điểm M thuộc đường thẳng y = x ∙ tan α.

Lại có điểm O cũng thuộc đường thẳng trên nên phương trình đường thẳng OM là:

y = x ∙ tan α.

Khi đó, tam giác OPM là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ∙ tan α, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = ℓ ∙ cos α. Khối tròn xoay 𝒩 là khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox.

Thể tích khối tròn xoay này là:

$V = π \int_{0}^{l \cdot \cos α} {(x \cdot \tan α)}^{2} d x = π \tan^{2} α \cdot {\frac{x^{3}}{3}|}_{0}^{l \cdot \cos α}$

$= \frac{π \tan^{2} α}{3} \cdot {(l \cdot \cos α)}^{3} = \frac{π l^{3}}{3} \cdot \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} \cdot \cos^{3} α$ $= \frac{π l^{3}}{3} \cdot \sin^{2} α \cdot \cos α$ .

Cách 2:

Tam giác OMP là tam giác vuông tại P nên:

OP = OM ∙ $\cos \hat{P O M}$ = ℓ ∙ cos α;

MP = OM ∙ $\sin \hat{P O M}$ = ℓ ∙ sin α;

Khi quay tam giác OPM quanh trục Ox ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy là r = MP = ℓ ∙ sin α và chiều cao h = OP = ℓ ∙ cos α.

Thể tích khối nón là:

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π \cdot {(l \cdot \sin α)}^{2} \cdot (l \cdot \cos α)$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Cánh diều khác