Giải Toán 11 trang 118 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 11 trang 118 Tập 1 trong Bài 16: Giới hạn của hàm số Toán 11 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 118.

Luyện tập 5 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{x-2}$ và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{x-2}$.

Lời giải:

+) Ta có: $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-2\right)=0$, x – 2 > 0 với mọi x > 2 và

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(2x-1\right)=2.2-1=3>0$.

Do đó, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{x-2}=+\infty$.

+) Ta có: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x-2\right)=0$, x – 2 < 0 với mọi x < 2 và

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(2x-1\right)=2.2-1=3>0$.

Do đó, $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{x-2}=-\infty$.

Bài 5.7 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x-1}$ và g(x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) f(x) = g(x);

b) $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$.

Lời giải:

+) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.

Ta có: $f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}=x+1$, với mọi x ≠ 1.

Biểu thức g(x) = x + 1 có nghĩa với mọi x.

Do đó, điều kiện xác định của hai hàm số f(x) và g(x) khác nhau, vậy khẳng định a) là sai.

+) Ta có: $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+1\right)=1+1=2$;

$\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+1\right)=1+1=2$.

Vậy $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$ nên khẳng định b) là đúng.

Bài 5.8 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(x+2\right)}^2-4}{x}$;

b) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}$.

Lời giải:

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi x ⟶ 0 nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số đối với cả hai câu a và b.

a) Ta có: .

Do đó $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(x+2\right)}^2-4}{x}$$=\underset{x\to 0}{\lim }\left(x+4\right)=0+4=4$.

b) Ta có: $\frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}=\frac{{\left(\sqrt{x^2+9}\right)}^2-3^2}{x^2\left(\sqrt{x^2+9}+3\right)}$$=\frac{x^2}{x^2\left(\sqrt{x^2+9}+3\right)}=\frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}$.

Do đó $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}=\frac{1}{6}$.

Bài 5.9 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thời điểm t = 0).

Tính $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }H\left(t\right)$ và $\underset{t\to 0^{-}}{\lim }H\left(t\right)$.

Lời giải:

Với dãy số (t_n) bất kì sao cho t_n < 0 và t_n ⟶ 0, ta có H(t_n) = 0.

Do đó $\underset{t\to 0^{-}}{\lim }H\left(t\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }H\left(t_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }0=0$.

Tương tự, với dãy số (t_n) bất kì sao cho t_n > 0 và t_n ⟶ 0, ta có H(t_n) = 1.

Do đó $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }H\left(t\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }H\left(t_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }1=1$.

Bài 5.10 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn một bên:

a) $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x-1}$;

b) $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x^2-x+1}{4-x}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x-1\right)=0$, x – 1 > 0 với mọi x > 1 và

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x-2\right)=1-2=-1<0$.

Do đó, $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x-1}=-\infty$.

b) Ta có: $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\left(4-x\right)=0$, 4 – x > 0 với mọi x < 4 và

$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\left(x^2-x+1\right)=4^2-4+1=13>0$.

Do đó, $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x^2-x+1}{4-x}=+\infty$.

Bài 5.11 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số .

Tìm $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }g\left(x\right)$ và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }g\left(x\right)$.

Lời giải:

Ta có:

Do đó, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-3\right)=2-3=-1$;

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(3-x\right)=3-2=1$.

Bài 5.12 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-2x}{\sqrt{x^2+1}}$;

b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x+2}-x\right)$.

Lời giải:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-2x}{\sqrt{x^2+1}}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-2x}{\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x\left(\frac{1}{x}-2\right)}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}-2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\frac{-2}{\sqrt{1}}=-2$.

b) Ta có: $\sqrt{x^2+x+2}-x=\frac{{\left(\sqrt{x^2+x+2}\right)}^2-x^2}{\sqrt{x^2+x+2}+x}$$=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+x}$

Do đó, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x+2}-x\right)$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+x}$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+2}{\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}+x}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+2}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}+x}$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x\left(1+\frac{2}{x}\right)}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}+1\right)}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}+1}=\frac{1}{2}$

Bài 5.13 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}$.

Tính $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$.

Lời giải:

Ta có: $f\left(x\right)=\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{2}{x-1}\cdot \frac{1}{x-2}$

+) $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{2}{x-1}=\frac{2}{2-1}=2>0$ và $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{x-2}=+\infty$ (do x – 2 > 0 khi x > 2).

Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích, ta được $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=+\infty$.

+) $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2}{x-1}=\frac{2}{2-1}=2>0$ và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{1}{x-2}=-\infty$ (do x – 2 < 0 khi x < 2).

Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích, ta được $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=-\infty$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số hay khác:

• Giải Toán 11 trang 111
• Giải Toán 11 trang 113
• Giải Toán 11 trang 115
• Giải Toán 11 trang 116

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài tập cuối chương 4

• Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục

• Toán 11 Bài tập cuối Chương 5

• Toán 11 Một vài áp dụng của toán học trong tài chính

• Toán 11 Lực căng mặt ngoài của nước

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---