Hàm số mũ và hàm số lôgarit lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 20: Hàm số mũ và hàm số lôgarit sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Lý thuyết Hàm số mũ và hàm số lôgarit

1. Hàm số mũ

· Cho a là số thực dương khác 1.

Hàm số y=a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a.

· Hàm số mũ y=a^x : 

- Có tập xác định là $ℝ$ và tập giá trị là (0; +$\infty$);

- Đồng biến trên $ℝ$  khi a > 1 và nghịch biến trên $ℝ$ khi 0 < a < 1;

- Liên tục trên $ℝ$;

- Có đồ thị đi qua các điểm (0; 1), (1; a) và luôn nằm phía trên trục hoành.

Dạng đồ thị của hàm số y=a^x

Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của hàm số $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$

Hướng dẫn giải

Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau:

x	−4	−2	0	2	4
$y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	1	2	4

Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$ như hình sau:

2. Hàm số lôgarit

• Cho a là số thực dương khác 1.

Hàm số $y={\log }_{a}x$ được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

• Hàm số lôgarit $y={\log }_{a}x$ :

- Có tập xác định là (0; +$\infty$) và tập giá trị là $ℝ$ ;

- Đồng biến trên (0; +$\infty$) khi a > 1 và nghịch biến trên (0; +$\infty$) khi 0 < a < 1;

- Liên tục trên (0; +$\infty$) ;

- Có đồ thị đi qua các điểm (1; 0), (a; 1) và luôn nằm bên phải trục tung.

Dạng đồ thị của hàm số $y={\log }_{a}x$

Ví dụ 2. Vẽ đồ thị của hàm số $y={\log }_{\sqrt{3}}x$                

Hướng dẫn giải

Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau:

Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số $y={\log }_{\sqrt{3}}x$ như hình sau:

Bài tập Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 1. Vẽ đồ thị hàm số $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $\mathrm{ℝ}$

Do $\frac{3}{2}>1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$ .

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số đi qua các điểm có toạ độ theo bảng giá trị và nằm phía trên trục hoành.

Từ đó, ta vẽ được đồ thị hàm số như hình dưới đây.

Bài 2. Vẽ đồ thị của hàm số $y={\log }_{\frac{2}{3}}x$

Hướng dẫn giải

Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau:

Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số $y={\log }_{\frac{2}{3}}x$ như hình sau:

Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y={12}^x$ ;

b) $y={\log }_5\left(2x-3\right)$ .

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định của hàm số $y={12}^x$ là $\mathrm{ℝ}$ .

b) Hàm số $y={\log }_5\left(2x-3\right)$  xác định khi 2x - 3 > 0  hay $x>\frac{3}{2}$

Vậy tập xác định của hàm số $y={\log }_5\left(2x-3\right)$ là $D=\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$ .

Bài 4. Sau khi bệnh nhân uống một liều thuốc, lượng thuốc còn lại trong cơ thể giảm dần và được tính theo công thức $D\left(t\right)=D_0\cdot a^t\left(mg\right)$ , trong đó D₀ và a là các hằng số dương, t là thời gian tính bằng giờ kể từ thời điểm uống thuốc.

a) Tại sao có thể khẳng định rằng 0 < a < 1?

b) Biết rằng bệnh nhân đã uống 100 mg thuốc và sau 1 giờ thì lượng thuốc trong cơ thể còn 80 mg. Hãy xác định giá trị của D₀ và a.

c) Sau 5 giờ, lượng thuốc đã giảm đi bao nhiêu phần trăm so với lượng thuốc ban đầu?

Hướng dẫn giải

a) Do lượng thuốc trong cơ thể giảm dần, nên hàm số D(t) nghịch biến, mà D₀ là hằng số dương, do đó 0 < a < 1.

b) Bệnh nhân đã uống 100 mg thuốc nên D₀ = 100.

Vì sau 1 giờ thì lượng thuốc trong cơ thể còn 80 mg nên với t = 1, ta có:

D(1) = 100a¹ = 80, suy ra $a=\frac{80}{100}=0,8$ .

c) Sau 5 giờ, lượng thuốc còn $D\left(5\right)=100\cdot 0,8^5$ . Tỉ lệ lượng thuốc đã giảm so với lượng thuốc ban đầu là 

$\frac{D_0-D\left(5\right)}{D_0}=\frac{100-100\cdot 0,8^5}{100}\approx 0,6723\approx 67,23\%$

Học tốt Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Các bài học để học tốt Hàm số mũ và hàm số lôgarit Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 20: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 19: Lôgarit

• Lý thuyết Toán 11 Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

• Tổng hợp Lý thuyết Toán 11 chương 6

• Lý thuyết Toán 11 Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• Lý thuyết Toán 11 Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---