Số gần đúng và sai số (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 1: Số gần đúng và sai số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Lý thuyết Số gần đúng và sai số

1. Số gần đúng

Trong thực tế cuộc sống cũng như trong khoa học kĩ thuật, có nhiều đại lượng mà ta không thể xác định được giá trị chính xác. Mỗi dụng cụ hay phương pháp đo khác nhau có thể sẽ cho ra các kết quả khác nhau. Vì vậy kết quả thu được thường chỉ là những số gần đúng.

Ví dụ:

- Chiều cao của một cây cau trong vườn nhà.

- Tốc độ của một chiếc tàu hỏa đang chạy tại một thời điểm nào đó.

- Giá trị của số π được làm tròn là 3,14, ta nói 3,14 là số gần đúng của số π.

2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

2.1. Sai số tuyệt đối

Nếu a là số gần đúng của số đúng $\overline{a}$ thì ${\Delta }_a$ = |$\overline{a}$-a| được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.

Ví dụ:

Ta có: 10$\sqrt{3}$ ≈ 17,32.

Suy ra $\overline{a}$ = 10$\sqrt{3}$là số đúng; a = 17,32 là số gần đúng.

Khi đó ta có ∆_a = |$\overline{a}$-a| = |17,32 - 10$\sqrt{3}$| = 0,0005.

Vậy ∆_a =0,0005 là sai số tuyệt đối của số gần đúng a = 17,32.

* Độ chính xác:

Trên thực tế ta thường không biết số đúng $\overline{a}$ nên không thể tính được chính xác ∆_a. Thay vào đó, ta thường tìm cách khống chế sai số tuyệt đối ∆_a không vượt quá mức d > 0 cho trước:

|$\overline{a}$-a| $\le$ d hay a – d ≤ $\overline{a}$ ≤ a + d.

Khi đó, ta nói a là số gần đúng của số đúng $\overline{a}$ với độ chính xác d.

Quy ước viết gọn: $\overline{a}$ = a $\pm$ d.

Ví dụ:

Trên góikẹo có ghi khối lượng tịnh là 100g ± 2g.

+ Khối lượng thực tế của gói kẹo $\overline{a}$là số đúng. Tuy không biết nhưng ta xem khối lượng gói kẹo là 100g nên 100 là số gần đúng cho $\overline{a}$. Độ chính xác d = 2 (g).

+ Giá trị của thỏa mãn 100 – 2 ≤ $\overline{a}$ ≤ 100 + 2 hay 98 ≤ $\overline{a}$ ≤ 102.

Hay $\overline{a}$nằm trong đoạn [98; 102].

2.2. Sai số tương đối

Sai số tương đối của số gần đúng a, kí hiệu là δ_a, là tỉ số giữa sai số tuyệt đối ∆_a và |a|, tức là .

Nếu $\overline{a}$ = a $\pm$ d thì ∆_a ≤ d. Do đó . Nếu δ_a hay càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng cao.

Chú ý: Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm.

Ví dụ: Bao bì của một chai nước suối có ghi thể tích thực là 500ml, biết rằng sai số tuyệt đối là 3 ml. Tìm sai số tương đối của chai nước suối.

Hướng dẫn giải

Ta có a = 500 (ml) và ∆_a = 3 (ml), do đó sai số tương đối là:

3. Số quy tròn

3.1. Quy tắc làm tròn số

Quy tắc làm tròn số đến một hàng nào đó (gọi là hàng quy tròn):

+ Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bởi chữ số 0.

+ Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên nhưng cộng thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng quy tròn.

Ví dụ: Hãy quy tròn số $\overline{a}=\frac{5}{3}=1,\mathrm{66666....}$ đến hàng phần trăm và ước lượng sai số tương đối.

Hướng dẫn giải

Quy tròn số $\overline{a}=\frac{5}{3}=1,\mathrm{66666....}$đến hàng phần trăm, ta được số gần đúng là a = 1,67.

Do $\overline{a}$ < a < 1,675 nên sai số tuyệt đối là:

${\Delta }_a$= |$\overline{a}$-a| < 0,005.

Sai số tương đối là .

Chú ý:

+ Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng quy tròn. Ta có thể nói độ chính xác của số quy tròn bằng nửa đơn vị của hàng quy tròn.

+ Khi quy tròn số đúng $\overline{a}$đến một hàng nào đó thì ta nói số gần đúng a nhận được là chính xác đến hàng đó. Ví dụ số gần đúng của π chính xác đến hàng phần trăm là 3,14.

3.2. Xác định số quy tròn của số gần đúng với độ chính xác cho trước

Các bước xác định số quy tròn của số gần đúng a với độ chính xác d cho trước:

Bước 1: Tìm hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của d.

Bước 2: Quy tròn số a ở hàng gấp 10 lần hàng tìm được ở Bước 1.

Ví dụ: Cho số gần đúng a = 2032 với độ chính xác d = 50. Hãy viết số quy tròn của số a.

Hướng dẫn giải

Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 50 là hàng chục, nên ta quy tròn a đến hàng trăm.

Vậy số quy tròn của a là 2000.

3.3. Xác định số gần đúng của một số với độ chính xác cho trước

Để tìm số gần đúng a của số đúng $\overline{a}$ với độ chính xác d, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của d.

Bước 2: Quy tròn $\overline{a}$đến hàng tìm được ở trên.

Ví dụ: Cho $\overline{a}$ = 2-$\sqrt{11}$ = -1,31662479 .... Hãy xác định số gần đúng của $\overline{a}$với độ chính xác d = 0,0001.

Hướng dẫn giải

Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của d = 0,0001 là hàng phần chục nghìn.

Quy tròn $\overline{a}$đến hàng phần chục nghìn ta được số gần đúng của $\overline{a}$là a = – 1,3166.

Bài tập Số gần đúng và sai số

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Hội chợ Trung thu có có 52 245 người tham dự. Hỏi hội chợ có khoảng bao nhiêu nghìn người?

A. 52;

B. 53;

C. 52,2;

D. 50.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Từ yêu cầu bài toán, ta sẽ làm tròn số 52 245 đến hàng nghìn.

Vì số 52 245 có chữ số hàng trăm là 2 < 5 nên khi làm tròn số 52 245 đến hàng nghìn ta được 52 245 ≈ 52 000.

Vậy hội chợ Trung thu có khoảng 52 nghìn người tham dự.

Ta chọn phương án A.

Câu 2. Chiều dài của một sợi dây là l = 13,455 m ± 0,02 m. Quy tròn chiều dài của sợi dây ta được:

A. 13;

B. 14;

C. 13,4;

D. 13,5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 0,02 (m) là hàng phần trăm, nên ta quy tròn số 13,455 đến hàng phần mười.

Vì số 13,455 có chữ số hàng phần trăm là 5 ≥ 5 nên khi làm tròn số 13,455 đến hàng phần mười ta được 13,455 ≈ 13,5.

Vậy quy tròn chiều dài của sợi dây ta được 13,5 m.

Câu 3. Dung tích của một nồi cơm điện là 1,1 lít ± 0,01 lít. Sai số tương đối của dung tích nồi cơm điện không vượt quá giá trị nào sau đây?

A. 0,4%;

B. 0,6%;

C. 0,8%;

D. 1%.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có a = 1,1 (lít) và d = 0,01 (lít). Do đó sai số tương đối là:

Ta loại ba đáp án A, B, C vì cả 3 đáp này đều nhỏ hơn 0,909%.

Vậy ta chọn phương án D.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Các nhà vật lí sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả như sau:

67,31 ± 0,96; 67,90 ± 0,55; 67,74 ± 0,46.

Phương pháp nào chính xác nhất tính theo sai số tương đối?

Hướng dẫn giải

Với phương pháp đo thứ nhất: a₁ = 67,31 và d₁ = 0,96, do đó sai số tương đối là:

Với phương pháp đo thứ hai: a₂ = 67,90 và d₂ = 0,55, do đó sai số tương đối là:

Với phương pháp đo thứ ba: a₃ = 67,74 và d₃ = 0,46, do đó sai số tương đối là:

Vì 0,68% < 0,81% < 1,43% nên δ₃ < δ₂ < δ₁.

Do đó phương pháp đo thứ ba là chính xác nhất tính theo sai số tương đối.

Bài 2. Cho số $\sqrt{5}$ = 2,236067977 ...

a) Hãy quy tròn $\sqrt{5}$ đến hàng phần trăm.

b) Hãy tìm số gần đúng của $\sqrt{5}$ với độ chính xác 0,005.

Hướng dẫn giải

a) Quy tròn số $\sqrt{5}$ đến hàng phần trăm ta được số gần đúng là 2,24.

Vậy $\sqrt{5}$$\approx$2,24 (quy tròn đến hàng phần trăm).

b) Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của độ chính xác 0,005 là hàng phần nghìn. Quy tròn $\sqrt{5}$ đến hàng phần nghìn ta được số gần đúng là 2,236.

Vậy $\sqrt{5}$$\approx$2,236 với độ chính xác 0,005.

Bài 3. Làm tròn số 4372,8 đến hàng chục và 8,125 đến hàng phần trăm rồi tính sai số tuyệt đối của số quy tròn.

Hướng dẫn giải

+ Số quy tròn của số 4372,8 đến hàng chục là 4370.

Sai số tuyệt đối là∆ = |4370 − 4372,8| = 2,8.

+ Số quy tròn của số 8,125 đến hàng phần trăm là 8,13.

Sai số tuyệt đối là∆' = |8,13 – 8,125| = 0,005.

Bài 4. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng trong những trường hợp sau:

a) 3 678 008 ± 1000;

b) 21,02345 ± 0,001.

Hướng dẫn giải

a) 3 678 008 ± 1000

Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 1000 là hàng nghìn, nên ta quy tròn đến hàng chục nghìn.

Vậy số quy tròn trong trường hợp này là 3 680 000.

b) 21,02345 ± 0,001

Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 0,001 là hàng phần nghìn, nên ta quy tròn đến hàng phần trăm.

Vậy số quy tròn trong trường hợp này là 21,02.

Bài 5. Một tam giác có ba cạnh đo được như sau: a = 5,4 cm ± 0,2 cm; b = 7,2 cm ± 0,2 cm và c = 9,7 cm ± 0,1 cm. Tính chu vi của tam giác đó.

Hướng dẫn giải

Chu vi của tam giác đó là:

P = a + b + c = (5,4 ± 0,2) + (7,2 ± 0,2) + (9,7 ± 0,1)

= (5,4 + 7,2 + 9,7) ± (0,2 + 0,2 + 0,1)

= 22,3 ± 0,5 (cm).

Vậy chu vi của tam giác đã cho là P = 22,3 cm ± 0,5 cm.

Học tốt Số gần đúng và sai số

Các bài học để học tốt Số gần đúng và sai số Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 1: Số gần đúng và sai số

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

• Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

• Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

• Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 6

• Lý thuyết Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

• Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---