Hàm số và đồ thị (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 1: Hàm số và đồ thị sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Lý thuyết Hàm số và đồ thị

1. Hàm số. Tập xác định và tập giá trị của hàm số

– Giả sử x và y là hai đại lượng biến thiên và x nhận giá trị thuộc tập số D.

Nếu với mỗi giá trị x thuộc D, ta xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng y thuộc tập hợp số thực ℝ thì ta có một hàm số.

Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.

Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.

Tập hợp T gồm tất cả các giá trị y (tương ứng với x thuộc D) gọi là tập giá trị của hàm số.

Chú ý:

+ Ta thường dùng kí hiệu f(x) để chỉ giá trị y tương ứng với x, nên hàm số còn được viết là y = f(x).

+ Một hàm số có thể đượ cho bằng bảng, bằng biểu đồ hoặc bằng công thức như ddaxhocj ở cấp Trung học cơ sở.

+ Khi một hàm số được cho bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì ta quy ước:

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

+ Một hàm số có thể được cho bởi hai hay nhiều công thức.

Ví dụ:

+ Hàm số có thể được cho bằng bảng dưới đây:

Với mỗi lượng điện tiêu thụ (kWh) thì sẽ có một số tiền phải trả tương ứng (nghìn đồng). Ta nói bảng trên biểu thị một hàm số.

+ Hàm số có thể được cho bằng công thức, ví dụ như: y = 2x – 1, y = x², …. với biến số là x và y là hàm số của x.

+ Hàm số được cho bởi hai công thức như f(x)=

Nghĩa là với x ≤ ‒3 thì f(x) = ‒2x + 1, với x > ‒3 thì f(x)= $\frac{x+7}{2}$

+ Với hàm số y = f(x) = $\frac{x+1}{x-2}$, tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa tức là $\frac{x+1}{x-2}$ có nghĩa, tức là x ≠ 2.

Vậy tập xác định của hàm số này là D = ℝ\{2}.

2. Đồ thị hàm số

– Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị (C) của hàm số là tập hợp tất cả các điểm M(x; y) với x ∈ D và y = f(x).

Vậy (C) = {M(x; f(x)| x ∈ D}.

Chú ý: Điểm M(x_M; y_M) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi x_M ∈ D và y_M = f(x_M).

Ví dụ:

+ Cho hàm số y = f(x) = 2x – 1 có tập xác định D = ℝ.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) = 2x – 1.

Khi thay x = 0 và y = ‒1 vào hàm số, ta được ‒1 = 2. 0 – 1 là mệnh đề đúng nên điểm A(0; ‒1) là điểm thuộc đồ thị (C).

Khi thay x = 0,5 và y = 0 vào hàm số, ta được 0 = 2. 0,5 – 1 là mệnh đề đúng nên điểm B(0,5; 0) là điểm thuộc đồ thị (C).

3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

– Với hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), ta nói:

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) nếu

∀x₁, x₂ ∈ (a; b), x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) < f(x₂).

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu

∀x₁, x₂ ∈ (a; b), x₁ < x₂ $\Rightarrow$f(x₁) > f(x₂).

Nhận xét:

+ Khi hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi lên từ trái sang phải. Ngược lại, khi hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái sang phải.

Ví dụ: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) y = 2x – 1;

b) y = ‒ x + 2.

Hướng dẫn giải

a) Xét hàm số y = f(x) = 2x – 1 xác định trên ℝ.

Lấy hai giá trị x₁ = 1 và x₂ = 2 đều thuộc ℝ, ta có:

f(x₁) = f(1) = 2.1 – 1 = 1.

f(x₂) = f(2) = 2.2 – 1 = 3.

Ta có x₁ < x₂ và f(x₁) < f(x₂) nên hàm số y = f(x) = 2x – 1 là hàm số đồng biến trên ℝ.

Ta thấy hàm số y = f(x) = 2x – 1 là hàm số đồng biến trên ℝ nên đồ thị của nó có dạng đi lên từ trái sang phải.

b) Xét hàm số y = f(x) = ‒ x + 2 xác định trên ℝ.

Lấy 2 giá trị x₁ = 1 và x₂ = 2 đều thuộc ℝ, ta có:

f(x₁) = f(1) = ‒1 + 2 = 1.

f(x₂) = f(2) = ‒ 2 + 2 = 0.

Ta có x₁ < x₂ và f(x₁) > f(x₂) nên hàm số y = f(x) = ‒ x + 2 là hàm số nghịch biến trên ℝ.

Ta thấy hàm số y = f(x) = ‒ x + 2 là hàm số nghịch biến trên ℝ nên đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái sang phải.

Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là [‒3; 3] và có đồ thị hàm số như hình vẽ.

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị nhận thấy:

– Đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải trên các khoảng (‒3; ‒1) và (1; 3) nên hàm số đồng biến trên khoảng (‒3; ‒1) và (1; 3);

– Đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải trên khoảng (‒1; 1) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (‒1; 1).

Bài tập Hàm số và đồ thị

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. f(x) đồng biến trên khoảng (‒∞; ‒1);

B. f(x) nghịch biến trên khoảng (‒∞; 0);

C. f(x) đồng biến trên khoảng (1; +∞);

D. f(x) nghịch biến trên khoảng (‒1; 1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Quan sát đồ thị, theo chiều từ trái sang phải; nếu đồ thị đi lên trong khoảng nào thì hàm số sẽ đồng biến trong khoảng đó, hoặc nếu đồ thị đi xuống trong khoảng nào thì hàm số sẽ nghịch biến trong khoảng đó.

Ta thấy:

+ Trên khoảng (‒∞; ‒1) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến.

+ Trên khoảng (‒1; 1) thì giá trị của hàm số không đổi y = 1 nên hàm số không đồng biến, không nghịch biến.

+ Trên khoảng (1; +∞) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 2. Tìm m để hàm số y = $\frac{x}{x-m}$ xác định trên khoảng (0; 5)?

A. 0 < m < 5;

B. m ≤ 0;

C. m ≥ 5;

D. m ≤ 0 hoặc m ≥ 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = $\frac{x}{x-m}$ xác định khi và chỉ khi x ≠ m.

Do đó để hàm số đã cho xác định trên khoảng (0; 5)

⇔ m ∉ (0; 5).

Do đó m ≤ 0 hoặc m ≥ 5.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 3. Theo tài liệu dân số và phát triển của Tổng cục dân số và kế hoạch hóa gia đình thì:

Dựa trên số liệu về dân số, kinh tế, xã hội của 85 nước trên thế giới, người ta xây dựng được hàm nêu lên mối quan hệ giữa tuổi thọ trung bình của phụ nữ (y) và tỷ lệ biết chữ của họ (x) như sau: y = 47,17 + 0,307x. Trong đó y là số năm (tuổi thọ), x là tỷ lệ phần trăm biết chữ của phụ nữ. Theo báo cáo của Bộ Giáo dục và Đào tạo năm học 2015 ‒ 2016, tỷ lệ biết chữ đã đạt 96,83% trong nhóm phụ nữ Việt Nam tuổi từ 15 đến 60. Hỏi với tỷ lệ biết chữ của phụ nữ Việt Nam như trên thì nhóm này có tuổi thọ bao nhiêu?

A. 67,89 tuổi;

B. 76,89 tuổi;

C. 76,98 tuổi;

D. 77,01 tuổi.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thay x = 96,83 vào công thức y = 47,17 + 0,307x ta được:

y = 47,17 + 0,307. 96,83 = 47,17 + 29,72 = 76,89 (năm)

Vậy nhóm này có tuổi thọ 76,89 tuổi.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) f(x)= $\sqrt{2x+1}$;

b) f(x)= 1+$\frac{1}{x+3}$.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức f(x)= $\sqrt{2x+1}$ có nghĩa

$\iff$ 2x + 1 ≥ 0 $\iff$ 2x ≥ ‒ 1 $\iff$ x ≥ $-\frac{1}{2}$.

Vậy tập xác định D của hàm số này là D = .

b) Biểu thức f(x)= 1+$\frac{1}{x+3}$ có nghĩa

$\iff$ x + 3 ≠ 0 $\iff$ x ≠ ‒3.

Vậy tập xác định D của hàm số này là D = ℝ\ {‒3}.

Bài 2. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) y = ‒ 2x + 2.

b) y = x² trên khoảng (0; +∞).

Hướng dẫn giải

a) Hàm số y = f(x) = ‒2x + 2 xác định trên ℝ.

Xét hai giá trị x₁ = 1 và x₂ = 2 đều thuộc ℝ, ta có:

f(x₁) = f(1) = ‒2. 1 + 2 = 0.

f(x₂) = f(2) = ‒2. 2 + 2 = ‒2.

Ta thấy x₁ < x₂ và f(x₁) > f(x₂) nên hàm số y = f(x) = ‒2x + 2 là hàm số nghịch biến trên ℝ.

b) Hàm số y = f(x) = x² xác định trên khoảng (0; +∞).

Xét hai giá trị x₁ = 1 và x₂ = 2 đều thuộc khoảng (0; +∞), ta có:

f(x₁) = f(1) = 1² = 1.

f(x₂) = f(2) = 2² = 4.

Ta thấy x₁ < x₂ và f(x₁) < f(x₂) nên hàm số y = f(x) = x² là hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Bài 3. Tìm tập xác định và vẽ đồ thị hàm số:

y = f(x) = |2x + 3|.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số D = ℝ.

Ta có: y = |2x + 3| =

Ta vẽ đồ thị y = 2x + 3 với x$\ge -\frac{3}{2}$ (d₁)

Ta có bảng sau:

Suy ra đồ thị hàm số y = f(x) = 2x + 3 với x$\ge -\frac{3}{2}$ là phần đồ thị nằm bên trên trục Ox và đi qua các điểm A(‒ $\frac{3}{2}$; 0) và B(0; 3).

Ta có đồ thị như sau:

Tương tự ta có đồ thị hàm số y = f(x) = – 2x – 3 với x < –$\frac{3}{2}$ là phần đồ thị nằm bên trên trục Ox và đi qua các điểm C(–2; 1) và D(–3; 3).

Kết hợp 2 đồ thị ta có đồ thị hàm số y = |2x + 3| là phần đồ thị nét liền nằm trên trục Ox.

Bài 4. Một ô tô đi từ A đến B với đoạn đường AB = s (km). Ô tô di chuyển thẳng đều với vận tốc là 40 km/h. Gọi mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu xuất phát từ A, t là thời điểm ô tô đi ở vị trí bất kì trên đoạn AB. Hãy xác định hàm số biểu thị mối quan hệ giữa s và t, vẽ đồ thị hàm số đó và xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số từ đó rút ra nhận xét.

Hướng dẫn giải

Do thời gian luôn lớn hơn 0 nên tập xác định của hàm số ẩn t là D = (0; +∞)

Ta có công thức: Quãng đường = Vận tốc × Thời gian.

Ta có hàm số như sau: s = v. t = 40. t

Vẽ đồ thị hàm số s = 40t:

Ta có bảng sau:

Vậy các điểm có tọa độ (0,5; 20), (1; 40), (1,5; 60) thuộc đồ thị hàm số s = f(t).

Ta có đồ thị như sau:

Ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên đây là hàm số đồng biến trên (0; +∞).

Nhận xét: Trong di chuyển thẳng đều, thời gian luôn tỉ lệ thuận với quãng đường. Thời gian càng lâu thì quãng đường đi được càng lớn và ngược lại.

Học tốt Hàm số và đồ thị

Các bài học để học tốt Hàm số và đồ thị Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 1: Hàm số và đồ thị

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Hàm số bậc hai

• Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 3

• Lý thuyết Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

• Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

• Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---