Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), vẽ AX ⊥ BC và cắt nhau tại điểm D. Cho điểm H trên đoạn thẳng AD

Trang trước Trang sau

Bài 14 trang 73 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), vẽ AX ⊥ BC và cắt nhau tại điểm D. Cho điểm H trên đoạn thẳng AD sao cho DH = DX. Cho BH cắt AC tại E và CH cắt AB tại F.

a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng H là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Lời giải:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), vẽ AX ⊥ BC và cắt nhau tại điểm D. Cho điểm H trên đoạn thẳng AD

a) Xét ∆BDH và ∆BDX có:

Chung cạnh BD

$\hat{B D H} = \hat{B D X} = 90 °$

DH = DX

Do đó ∆BDH = ∆BDX (c.g.c), suy ra $\hat{H B D} = \hat{D B X}$ (hai góc tương ứng).

Vì $\hat{C B X}$ và $\hat{C A X}$ là hai góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung $\overset{⏜}{C X}$ nên $\hat{C B X} = \hat{C A X} .$

Do đó $\hat{H B D} = \hat{D B X} = \hat{C A X}$

Suy ra $\hat{E B C} = \hat{C A D} = 90 ° - \hat{A C D} = 90 ° - \hat{A C B}$

Xét tam giác EBC có $\hat{B E C} + \hat{E B C} + \hat{A C B} = 180 °$

Suy ra $\hat{B E C} = 180 ° - \hat{E B C} - \hat{A C B} = 180 ° - (90 ° - \hat{A C B}) - \hat{A C B} = 90 °$

Suy ra BE ⊥ AC.

Do đó H là giao điểm hai đường cao AD và BE nên H là trực tâm của tam giác ABC và CF ⊥ AB (đpcm).

b) Tam giác HDB vuông tại D nên tam giác HDB nội tiếp đường tròn đường kính HB.

Tam giác HFB vuông tại F nên tam giác HFB nội tiếp đường tròn đường kính HB.

Do đó tứ giác BDHF nội tiếp đường tròn đường kính HB.

Vì $\hat{H D F}$ và $\hat{H B F}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset{⏜}{H F}$ của đường tròn đường kính HB nên $\hat{H D F} = \hat{H B F}$

Tương tự, ta được tứ giác HECD nội tiếp đường tròn đường kính HC, suy ra $\hat{H D E} = \hat{H C E}$

Tam giác ABE vuông tại E nên ta có:

$\hat{H B F} = \hat{E B A} = 90 ° - \hat{B A E} = 90 ° - \hat{B A C}$

Tương tự với tam giác ACF ta được $\hat{H C E} = 90 ° - \hat{B A C}$ , suy ra $\hat{H B F} = \hat{H C F}$

Từ đó suy ra $\hat{H D F} = \hat{H B F} = \hat{H C E} = \hat{H D E}$

Do đó H nằm trên đường phân giác của góc EDF.

Tương tự ta có H nằm trên đường phân giác của góc FED.

Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. (đpcm)

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Kết nối tri thức khác