Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

Trang trước Trang sau

Bài 13 trang 73 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi AK là đường kính của (O). Chứng minh rằng:

a) BH = CK, CH = BK;

b) AD . AK = AB . AC.

Lời giải:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

Vì $\hat{A C K}$ và $\hat{A B K}$ là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên $\hat{A C K} = \hat{A B K} = 90 ° .$

Do đó AC ⊥ KC, AB ⊥ KB.

Mà AC ⊥ BH và AB ⊥ CH nên BH // KC và KB // CH.

Suy ra BHCK là hình bình hành.

Vậy BH = CK và CH = BK (đpcm).

b) Xét hai tam giác ABD và AKC có:

$\hat{A B D} = \hat{A C K} = 90 °$

$\hat{A B D} = \hat{A K C}$ (hai góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung $\overset{⏜}{A C}$ )

Suy ra ∆ABD ᔕ ∆AKC (g.g).

Do đó $\frac{A B}{A K} = \frac{A D}{A C}$ hay AD . AK = AB . AC (đpcm).

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Kết nối tri thức khác