Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB

Trang trước Trang sau

Bài 16 trang 89 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm E sao cho BE = AC. Tia AC và tia BD cắt nhau tại M. Vẽ EH vuông góc với AC tại H. Tia phân giác của góc $\hat{B A C}$ cắt EH tại K và cắt đường tròn (O) tại D. Tia CK cắt AB tại I và cắt đường tròn (O) tại F.

a) Chứng minh EH // BC.

b) Tính số đo của $\hat{A M B} .$

c) Chứng minh $\hat{A E K} = \hat{A F K} .$

d) Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng AE.

Lời giải:

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB

a) Ta có $\hat{A C B} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) đường kính AB), suy ra BC ⊥ AC.

Mà EH ⊥ AC (giả thiết), suy ra EH // BC.

b) Vì C là điểm chính giữa của cung AB và AB là đường kính của đường tròn (O), suy ra $sđ \overset{⏜}{A C} = sđ \overset{⏜}{B C} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{A B} = \frac{1}{2} \cdot 180 ° = 90 ° .$

Vì AD là tia phân giác của $\hat{B A C}$ (giả thiết) nên $\hat{C A D} = \hat{B A D} = \frac{1}{2} \hat{C A B},$ suy ra $sđ \overset{⏜}{C D} = sđ \overset{⏜}{B D} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{C B} = \frac{1}{2} \cdot 90 ° = 45 ° .$

Xét đường tròn (O) có:

⦁ $\hat{C A B}$ là góc nội tiếp chắn cung CB nên $\hat{C A B} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{C B} = \frac{1}{2} \cdot 90 ° = 45 °;$

⦁ $\hat{C B A}$ là góc nội tiếp chắn cung CA nên $\hat{C B A} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{C A} = \frac{1}{2} \cdot 90 ° = 45 °;$

⦁ $\hat{C B D}$ là góc nội tiếp chắn cung CD nên $\hat{C B D} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{C D} = \frac{1}{2} \cdot 45 ° = 22, 5 ° .$

Suy ra $\hat{M A B} = 45 °;$ $\hat{M B A} = \hat{M B C} + \hat{C B A} = 22, 5 ° + 45 ° = 67, 5 ° .$

Xét ∆MAB có: $\hat{A M B} + \hat{M A B} + \hat{M B A} = 180 °$

Suy ra $\hat{A M B} = 180 ° - \hat{M A B} - \hat{M B A} = 180 ° - 45 ° - 67, 5 ° = 67, 5 ° .$

c) Vì EH // BC nên $\hat{A E K} = \hat{A B C}$ (hai góc đồng vị).

Mà $\hat{A F K} = \hat{A F C} = \hat{A B C}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn (O)).

Suy ra $\hat{A E K} = \hat{A F K} .$

d) Tam giác AIC có AK là tia phân giác của $\hat{C A I},$ suy ra $\frac{A I}{A C} = \frac{K I}{K C} .$

Tam giác CIB có EK // CB, suy ra $\frac{I E}{B E} = \frac{K I}{K C}$ (định lí Thalès)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{A I}{A C} = \frac{I E}{B E} .$

Mà AC = BE (giả thiết) nên AI = IE.

Vậy I là trung điểm của đoạn thẳng AE.

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 9 hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Chân trời sáng tạo khác