Cho tam giác ABC có đường cao AH. Lấy các điểm E, F lần lượt

Trang trước Trang sau

Bài tập 12 trang 82 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Lấy các điểm E, F lần lượt trên AB, AC sao cho HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Lấy điểm D trên EF sao cho AD vuông góc với EF. Đường thẳng AD cắt BC tại M. Chứng minh rằng:

a) AE . AB = AF . AC.

b) ∆ADE ᔕ ∆AHC và ∆ANF ᔕ ∆AMB.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Lấy các điểm E, F lần lượt

a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên $\hat{A H B} = \hat{A H C} = 90 °$ .

Vì HE, HF vuông góc với AB, AC nên ta có:

$\hat{H E B} = \hat{H E A} = \hat{H F A} = \hat{H F C} = 90 °$ .

Tam giác HEA và tam giác BHA có:

$\hat{H E A} = \hat{A H B} = 90 °$

$\hat{B A H}$ chung

Do đó, ∆HEA ᔕ ∆BHA (g.g).

Suy ra $\frac{A E}{A H} = \frac{A H}{A B}$ nên AE . AB = AH² (1).

Tam giác HFA và tam giác CHA có:

$\hat{H F A} = \hat{A H C} = 90 °$

$\hat{C A H}$ chung

Do đó, ∆HFA ᔕ ∆CHA (g.g).

Suy ra $\frac{A F}{A H} = \frac{A H}{A C}$ nên AF . AC = AH² (2).

Từ (1) và (2) suy ra AE . AB = AF . AC.

b) Vì AE . AB = AF . AC nên $\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}$ .

Tam giác AEF và tam giác ACB có:

$\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}$

$\hat{B A C}$ chung

Do đó, ∆AEF ᔕ ∆ACB (c.g.c).

Suy ra $\hat{A E F} = \hat{C}$ .

Tam giác AED và tam giác ACH có:

$\hat{A D E} = \hat{A H C} = 90 °$

$\hat{A E F} = \hat{C}$ (cmt)

Do đó, ∆ADE ᔕ ∆AHC (g.g).

Suy ra $\hat{E A D} = \hat{C A H}$ .

Do đó, $\hat{N A F} = \hat{C A H} = \hat{E A D} = \hat{M A B}$ .

Hai tam giác ANF và AMB có:

$\hat{N A F} = \hat{M A B}$ (chứng minh trên)

$\hat{A F N} = \hat{A F E} = \hat{A B C} = \hat{A B M}$ (do ∆AEF ᔕ ∆ACB)

Do đó ∆ANF ᔕ ∆AMB (g.g).

Lời giải SBT Toán 8 Chương tập ôn tập cuối năm hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác