Cho tam giác ABC. Giả sử M là điểm trên cạnh AB sao cho

Trang trước Trang sau

Bài tập 11 trang 82 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC. Giả sử M là điểm trên cạnh AB sao cho $\frac{M B}{M A} = \frac{1}{3}$ , N là điểm trên cạnh BC sao cho $\frac{N B}{N C} = \frac{1}{3}$ .

a) Chứng minh MN // AC và MN = $\frac{1}{4}$ AC.

b) Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh $\frac{K N}{K A} = \frac{K M}{K C} = \frac{1}{4}$ .

c) Nếu thay điều kiện $\frac{M B}{M A} = \frac{1}{3}$ và $\frac{N B}{N C} = \frac{1}{3}$ bằng điều kiện CM là phân giác của góc C, AN là phân giác của góc A thì tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để MN // AC?

Lời giải:

Cho tam giác ABC. Giả sử M là điểm trên cạnh AB sao cho

a) Xét tam giác ABC có:

$\frac{M B}{M A} = \frac{N B}{N C} (= \frac{1}{3})$

Nên MN // AC (định lí Thalès đảo).

Vì $\frac{M B}{M A} = \frac{1}{3}$ nên MA = 3MB.

Tam giác ABC có MN // AC nên $\frac{M N}{A C} = \frac{B M}{A B} = \frac{B M}{B M + M A} = \frac{B M}{4 B M} = \frac{1}{4}$ .

Suy ra MN = $\frac{1}{4}$ AC.

b) Tam giác MNK có MN // AC nên $\frac{K N}{K A} = \frac{K M}{K C} = \frac{M N}{A C} = \frac{1}{4}$ .

c) Nếu MN // AC thì $\frac{M B}{M A} = \frac{N B}{N C}$ (định lí Thalès) (1).

Vì CM là tia phân giác của góc BCA trong tam giác ABC nên $\frac{M B}{M A} = \frac{B C}{A C}$ (2).

Vì AN là tia phân giác của góc BAC trong tam giác ABC nên $\frac{N B}{N C} = \frac{A B}{A C}$ (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{A B}{A C} = \frac{B C}{A C}$ nên AB = BC.

Do đó, tam giác ABC cân tại B.

Ngược lại, nếu tam giác ABC cân tại B, CM là phân giác của góc C, AN là phân giác góc A thì dễ thấy MN // AC.

Vậy để MN // AC thì điều kiện là tam giác ABC cân tại B.

Lời giải SBT Toán 8 Chương tập ôn tập cuối năm hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác