Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt

Trang trước Trang sau

Bài 10 trang 82 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt góc hạ từ H xuống AB, AC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a) EF = AH.

b) AM ⊥ EF.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông

a)Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{B A C} = 90 °$ .

Vì E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC nên HE vuông góc với AB, HF vuông góc với AC.

Do đó, $\hat{H E B} = \hat{H E A} = \hat{H F A} = \hat{H F C} = 90 °$ .

Xét tứ giác AFHE có: $\hat{B A C} = \hat{H E A} = \hat{H F A} = 90 °$ .

Do đó, tứ giác AFHE là hình chữ nhật.

Suy ra AH = FE (hai đường chéo bằng nhau).

b) Vì tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên $\hat{F H E} = 90 °$ .

Vì AM là đường trung tuyến trong tam giác ABC vuông tại A nên

AM = MB = MC = $\frac{1}{2} B C$ .

Tam giác AMB có AM = MB nên tam giác AMB cân tại M.

Do đó, $\hat{M A B} = \hat{B}$ .

Lại có $\hat{B} = \hat{A H E} (= 90 ° - \hat{H E B})$ .

Nên $\hat{M A B} = \hat{A H E}$ (1).

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo FE và AH của hình chữ nhật AFHE.

Do đó, OH = OE = OF = OA.

Tam giác OAE có OA = OE nên tam giác OAE cân tại O.

Suy ra $\hat{O E A} = \hat{O A E}$ .

Mà AE song song với FH (do AFHE là hình chữ nhật) nên $\hat{O H F} = \hat{O A E}$ (hai góc so le trong).

Do đó, $\hat{O E A} = \hat{O H F}$ (2).

Lại có $\hat{O H F} + \hat{O H E} = \hat{F H E} = 90 °$ (3).

Từ (1), (2), (3) ta có: $\hat{M A B} + \hat{O E A} = 90 °$ .

Gọi K là giao điểm của AM và EF. Khi đó, $\hat{K A E} + \hat{K E A} = 90 °$ . Suy ra $\hat{A K E} = 90 °$ .

Vậy AM vuông góc với EF tại K.

Lời giải SBT Toán 8 Chương tập ôn tập cuối năm hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác