Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7. Tính: a) sin ∠ABC; b) Diện tích tam giác ABC; c) Độ dài đường trung tuyến AM

Bài 74 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7. Tính:

a) $\sin \hat{A B C}$ ;

b) Diện tích tam giác ABC;

c) Độ dài đường trung tuyến AM.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7. Tính: a) sin ∠ABC; b) Diện tích tam giác ABC; c) Độ dài đường trung tuyến AM

a) Xét tam giác ABC, có:

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta được:

$cos \hat{A B C} = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2 A B . B C} = \frac{5^{2} + 6^{2} - 7^{2}}{2.5.6} = \frac{1}{5}$

Ta có: ${cos}^{2} \hat{A B C} + \sin^{2} \hat{A B C} = 1$

⇔ $\sin^{2} \hat{A B C} = 1 - {cos}^{2} \hat{A B C} = 1 - {(\frac{1}{5})}^{2} = \frac{24}{25}$

Vì $\hat{A B C}$ là góc trong tam giác nên $0 ° < \hat{A B C} < 180 °$

⇒ $\sin \hat{A B C} = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ .

Vậy $\sin \hat{A B C} = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ .

b) Diện tích tam giác ABC là:

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . B C . \sin \hat{A B C} = \frac{1}{2} .5.6. \frac{2 \sqrt{6}}{5} = 6 \sqrt{6}$ (đvdt)

Vậy diện tích tam giác ABC là $6 \sqrt{6} .$

c) Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{1}{2}$ BC = $\frac{1}{2}$ .6 = 3.

Xét tam giác ABM:

Áp dụng định lí cos, ta có:

AM² = AB² + BM² – 2.AM.BM.cosB

⇔ AM² = 5² + 3² – 2.5.3. $\frac{1}{5}$

⇔ AM² = 28

⇔ AM = $2 \sqrt{7}$

Vậy độ dài đường trung tuyến AM là $2 \sqrt{7}$ .

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Giải bài tập lớp 10 Cánh diều khác