Bài 44 trang 130 SGK Toán 9 Tập 2

Ôn tập chương 4 - Câu hỏi & Bài tập

Video Bài 44 trang 130-131 SGK Toán 9 Tập 2 - Cô Ngô Hoàng Ngọc Hà (Giáo viên VietJack)

Bài 44 (trang 130-131 SGK Toán 9 Tập 2): Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và GEF là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, EF là dây song song với AB (h.119). Cho hình đó quay quanh trục GO. Chứng minh rằng:

a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.

b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.

Giải bài 43 trang 130 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Lời giải

Giải bài 44 trang 130 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Khi hình vuông ABCD quay quanh trục GO ta được hình trụ có đường kính đáy AB và chiều cao BC là:

$V = π {(\frac{A B}{2})}^{2} . B C$

Mà AB = BC (do ABCD là hình vuông)

$\Rightarrow V = π {(\frac{A B}{2})}^{2} . A B = π \frac{A B^{3}}{4}$

Do ABCD là hình vuông nên ta có: $A C ⊥ B D$ tại O

Do đó, tam giác OAB vuông tại O

Xét tam giác OAB vuông tại O

Áp dụng định lý Py–ta–go ta có:

$A B^{2} = O A^{2} + O B^{2} = R^{2} + R^{2} = 2 R^{2}$

$\Rightarrow A B = \sqrt{2 R^{2}} = R \sqrt{2}$

$\Rightarrow V = π \frac{A B^{3}}{4} = π \frac{{(R \sqrt{2})}^{3}}{4} = π \frac{R^{3} \sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow V^{2} = {(π \frac{R^{3} \sqrt{2}}{2})}^{2} = \frac{π^{2} R^{6}}{2}$ (1)

Thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn có bán kính R là: $V_{1} = \frac{4}{3} π R^{3}$

Kẻ GH vuông góc với EF tại H

Thể tích hình nón sinh ra bởi tam giác đều GEF có bán kính đường tròn đáy bằng $\frac{E F}{2}$ là:

$V_{2} = \frac{1}{3} π {(\frac{E F}{2})}^{2} . G H$

Do tam giác GEF đều nên

GH là đường cao (do GH vuông góc với EF tại H) và cũng là đường trung tuyến

$\Rightarrow H E = H F = \frac{E F}{2}$

Xét tam giác GEH vuông tại H

Áp dụng định lý Py–ta–go ta có:

$G E^{2} = G H^{2} + H E^{2}$

Mà GE = EF (do tam giác GEF đều)

$\Rightarrow E F^{2} = G H^{2} + {(\frac{E F}{2})}^{2}$

$\Rightarrow E F^{2} - {(\frac{E F}{2})}^{2} = G H^{2}$

$\Rightarrow \frac{3}{4} E F^{2} = G H^{2}$

$\Rightarrow E F^{2} = \frac{4}{3} G H^{2}$

Do tam giác GEF đều nên O là trực tâm và cũng là trọng tâm

$\Rightarrow G H = \frac{3}{2} G O = \frac{3}{2} R$

$\Rightarrow E F^{2} = \frac{4}{3} . {(\frac{3}{2} R)}^{2} = 3 R^{2}$

$\Rightarrow E F = \sqrt{3 R^{2}} = R \sqrt{3}$

$\Rightarrow V_{2} = \frac{1}{3} π {(\frac{E F}{2})}^{2} . G H = \frac{1}{3} π {(\frac{R \sqrt{3}}{2})}^{2} . \frac{3}{2} R = \frac{3}{8} π R^{3}$

Ta có: $V_{1} V_{2} = \frac{4}{3} π R^{3} . \frac{3}{8} π R^{3} = \frac{π^{2} R^{6}}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $V^{2} = V_{1} . V_{2}$

Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính $\frac{A B}{2}$ và chiều cao BC là:

$S = S_{x q} + S_{d} = 2 π . \frac{A B}{2} . B C + π {(\frac{A B}{2})}^{2} = 2 π . \frac{R \sqrt{2}}{2} . R \sqrt{2} + π {(\frac{R \sqrt{2}}{2})}^{2}$ $= 3 π R^{2}$

$\Rightarrow S^{2} = {(3 π R^{2})}^{2} = 9 π^{2} R^{4}$ (3)

Diện tích mặt cầu có bán kính R là: $S_{1} = 4 π R^{2}$

Diện tích toàn phần của hình nón là:

$S_{2} = S_{x q} + S_{d} = π . \frac{E F}{2} . F G + π . {(\frac{E F}{2})}^{2} = π . \frac{R \sqrt{3}}{2} . R \sqrt{3} + π . {(\frac{R \sqrt{3}}{2})}^{2} = \frac{9 π R^{2}}{4}$

$\Rightarrow S_{1} S_{2} = 4 π R^{2} . \frac{9 π R^{2}}{4} = 9 π^{2} R^{4}$ (4)

Từ (3) và (4) ta có: $S^{2} = S_{1} S_{2}$ .

Tham khảo các lời giải Toán 9 Bài Ôn tập chương 4 khác:

Tham khảo các lời giải Toán 9 Chương 4 khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

Trang trước

Trang sau

on-tap-chuong-4-phan-hinh-hoc-9.jsp

Các loạt bài lớp 9 khác