Bài 40 trang 57 SGK Toán 9 Tập 2

Trang trước

Trang sau

Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Luyện tập (trang 56-57 sgk Toán 9 Tập 2)

Video Bài 40 trang 57 SGK Toán 9 Tập 2 - Cô Ngô Hoàng Ngọc Hà (Giáo viên VietJack)

Bài 40 (trang 57 SGK Toán 9 Tập 2): Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a) $3 {(x^{2} + x)}^{2} - 2 (x^{2} + x) - 1 = 0$

b) ${(x^{2} - 4 x + 2)}^{2} + x^{2} - 4 x - 4 = 0$

c) $x - \sqrt{x} = 5 \sqrt{x} + 7$

d) $\frac{x}{x + 1} - 10. \frac{x + 1}{x} = 3$

Hướng dẫn:

a) Đặt t = x² + x, ta có phương trình 3t² - 2t - 1 = 0. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đẳng thức t = x² +x, ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.

d) Đặt $\frac{x + 1}{x} = t$ hoặc $\frac{x}{x + 1} = t$

Lời giải

a) $3 {(x^{2} + x)}^{2} - 2 (x^{2} + x) - 1 = 0$

Đặt $x^{2} + x = t$ khi đó phương trình trở thành:

$3 t^{2} - 2 t - 1 = 0$

Ta có: a = 3; b = -2; c = -1

Nhận thấy a + b + c = 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$t_{1} = 1; t_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 1}{3}$

+) Với t = 1 $\Rightarrow x^{2} + x = 1$

$\Leftrightarrow x^{2} + x - 1 = 0$

Ta có: a = 1; b = 1; c = -1

$Δ = b^{2} - 4 a c = 1^{2} - 4.1. (- 1) = 5$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2};$

$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$

+ Với t = $\frac{- 1}{3} \Rightarrow x^{2} + x = \frac{- 1}{3}$

$\Leftrightarrow x^{2} + x + \frac{1}{3} = 0$

Ta có: a = 1; b = 1; c = $\frac{1}{3}$

$Δ = 1^{2} - 4.1. \frac{1}{3} = \frac{- 1}{3} < 0$ $\Rightarrow$ vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \{\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}\}$ .

b) ${(x^{2} - 4 x + 2)}^{2} + x^{2} - 4 x - 4 = 0$

$\Leftrightarrow$ ${(x^{2} - 4 x + 2)}^{2} + x^{2} - 4 x + 2 - 6 = 0$

Đặt $x^{2} - 4 x + 2 = t$ khi đó phương trình trở thành

t² + t – 6 = 0 (2)

Ta có a = 1; b = 1; c = -6

⇒ Δ = 1² – 4.1.(-6) = 25 > 0

⇒ (2) có hai nghiệm phân biệt

$t_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 1 + \sqrt{25}}{2} = 2$

$t_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 1 - \sqrt{25}}{2} = - 3$

+ Với t = 2 ⇒ x² – 4x + 2 = 2

⇔ x² – 4x = 0

⇔ x(x – 4) = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 4.

+ Với t = -3 ⇒ x² – 4x + 2 = -3

⇔ x² – 4x + 5 = 0 (*)

Có a = 1; b = -4; c = 5 ⇒ Δ’ = (-2)² – 1.5 = -1 < 0

⇒ (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm S = {0; 4}.

c) Điều kiện: $x \geq 0$

$x - \sqrt{x} = 5 \sqrt{x} + 7$ (1)

Đặt $\sqrt{x} = t$ $(t \geq 0)$ . Khi đó phương trình (1) trở thành:

$t^{2} - t = 5 t + 7$ (2)

Giải (2): Có a = 1; b = -6; c = -7

⇒ a – b + c = 0

⇒ (2) có nghiệm t₁ = -1; t₂ = $\frac{- c}{a} = \frac{7}{1}$ = 7.

Đối chiếu điều kiện chỉ có nghiệm t = 7 thỏa mãn.

+ Với t = 7 ⇒ $\sqrt{x}$ = 7 ⇔ x = 49 (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \{49\}$

d) Điều kiện: $x \neq 0; x \neq - 1$

$\frac{x}{x + 1} - 10. \frac{x + 1}{x} = 3$ (1)

Đặt $\frac{x}{x + 1} = t$ khi đó phương trình (1) trở thành:

t - $10. \frac{1}{t} = 3$

$\Rightarrow t^{2} - 10 = 3 t$

$\Leftrightarrow t^{2} - 3 t - 10 = 0$ (2)

Ta có: a = 1; b = -3; c = -10.

$Δ = {(- 3)}^{2} - 4.1. (- 10) = 9 + 40 = 49 > 0$

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

$t_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2.1} = 5$ ;

$t_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2.1} = - 2$ .

+) Với t = 5 $\Rightarrow \frac{x}{x + 1} = 5$

$\Leftrightarrow x = 5 (x + 1)$

$\Leftrightarrow x = 5 x + 5$

$\Leftrightarrow 5 x - x = - 5$

$\Leftrightarrow 4 x = - 5$

$\Leftrightarrow x = \frac{- 5}{4}$ (thỏa mãn)

+) Với t = -2 $\Rightarrow \frac{x}{x + 1} = - 2$

$\Leftrightarrow x = - 2 (x + 1)$

$\Leftrightarrow x = - 2 x - 2$

$\Leftrightarrow x + 2 x = - 2$

$\Leftrightarrow 3 x = - 2$

$\Leftrightarrow x = \frac{- 2}{3}$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = $\{\frac{- 5}{4}; \frac{- 2}{3}\}$

Tham khảo các lời giải Toán 9 Bài 7 khác:

Tham khảo các lời giải Toán 9 Chương 4 khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

Trang trước

Trang sau

phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-hai.jsp

Các loạt bài lớp 9 khác