Bài 81 trang 171 SBT Toán 9 Tập 1

Ôn tập chương II

Bài 81 trang 171 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa AB. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, BC. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn lớn hơn tại D. DA, DB cắt các nửa đường tròn có đường kính AC, BC theo thứ tự tại M, N.

a. Tứ giác DMCN là hình gì? Vì sao?

b. Chứng minh hệ thức DM.DA = DN.DB

c. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn có đường kính AC, BC

d. Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất.

Lời giải:

a. Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn có AB là đường kính nên Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9 = 90^o hay = 90^o

Tam giác ACM nội tiếp trong đường tròn có AC là đường kính nên Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9 = 90^o

Suy ra: CM ⊥ AD ⇒ Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9 = 90^o

Tam giác BCN nội tiếp trong đường tròn có AC là đường kính nên Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9 = 90^o

Suy ra: CN ⊥ BD ⇒ Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9 = 90^o

Tứ giác CMDN có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật

b. Tam giác ACD vuông tại C có CM ⊥ AD

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

CD² = DM.DA (1)

Tam giác BCD vuông tại C có CN ⊥ BD

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

CD² = DN.DB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DM.DA = DN.DB

c. Gọi P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của BC, I là giao điểm của MN với DC

Vì CMDN là hình chữ nhật nên IC = IM = ID = IN

Tam giác CNI cân tại I nên Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9 (3)

Tam giác CNQ cân tại Q nên Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9 (4)

Vì AB ⊥ CD nên Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9 = 90^o (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9 = 90^o hay MN ⊥ QN

Vậy MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

Tam giác CMI cân tại I nên Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9 (6)

Tam giác CMP cân tại P nên Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9 (7)

Vì AB ⊥ CD nên Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9 = 90^o (8)

Từ (6), (7) và (8) suy ra: Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9 = 90^o hay MN ⊥ PM

Vậy MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AC

d. Gọi O là trung điểm của AB

Tứ giác CMDN là hình chữ nhật nên CD = MN

Trong tam giác OCD ta có: CD ≤ OD nên MN ≤ OD

Vì OD không đổi nên MN = OD là giá trị lớn nhất khi và chỉ khi C trùng với O

Vậy C là trung điểm của AB thì MN có độ dài lớn nhất.

Các bài giải bài tập sách bài tập Toán 9 (SBT Toán 9) khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

Trang trước

Trang sau

on-tap-chuong-2-phan-hinh-hoc.jsp

Các loạt bài lớp 9 khác