Bài 18 trang 102 SBT Toán 9 Tập 2

Bài 3: Góc nội tiếp

Bài 18 trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M vẽ một cát tuyến bất kì cắt đường tròn ở A và B. Chứng minh rằng tích MA.MB không đổi.

Lời giải:

TH1: M ở bên trong đường tròn (O)

Giải sách bài tập Toán 9 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 9

Kẻ cát tuyến MAB bất kì của đường tròn (O) và đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại C và D.

Xét tam giác MAC và tam giác MDB có:

$\hat{A M C} = \hat{B M D}$ (hai góc đối đỉnh)

$\hat{A} = \hat{D}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Do đó, tam giác MAC và tam giác MDB đồng dạng (góc – góc)

=> $\frac{M A}{M D} = \frac{M C}{M B}$

=> MA.MB = MC.MD (1)

Vì M, O cố định nên điểm C và D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi, suy ra tích MC.MD không đổi (2)

Từ (1) và (2) suy ra tích MA.MB không đổi khi cát tuyến MAB thay đổi.

TH2: M ở ngoài đường tròn (O)

Kẻ cát tuyến MAB bất kì của đường tròn (O) và đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại C và D

Xét tam giác MAD và tam giác MCB

Góc M chung

$\hat{B} = \hat{D}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó, tam giác MAD và tam giác MCB đồng dạng (góc – góc)

=> $\frac{M C}{M A} = \frac{M B}{M D}$

=> MA.MB = MC.MD (3)

Vì M và O cố định suy ra điểm C, D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi, suy ra tích MC.MD không đổi (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra tích MA.MB không đổi khi cát tuyến MAB thay đổi.

Các bài giải bài tập sách bài tập Toán 9 (SBT Toán 9) khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

Trang trước

Trang sau

bai-3-goc-noi-tiep.jsp

Các loạt bài lớp 9 khác