Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2024 (có đáp án)

Tuyển tập Đề thi học sinh giỏi Toán 12 có đán án, chọn lọc năm 2024 mới nhất giúp học sinh ôn tập và đạt kết quả cao trong bài thi HSG Toán 12.

Xem thử

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi học sinh giỏi Toán 12 bản word có lời giải chi tiết, dễ dàng chỉnh sửa:

• B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

Phòng Giáo dục và Đào tạo Nam Định

Đề thi khảo sát Học sinh giỏi

Năm học 2024 - 2025

Bài thi môn: Toán 12

Thời gian làm bài: 120 phút

(Đề số 1)

Phần I: Trắc nghiệm (Thí sinh chọn một đáp án và ghi vào tờ giấy thi)

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a\sqrt{2}.$ Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng

A. $30°$.                               

B. $45°$.                               

C. $60°$.    

D. $90°$.

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam giác đều, $SC=\sqrt{2}a$. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A.   $V=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^3$.                   

B.   $V=\frac{1}{3}{a}^3$.                      

C. $V=\frac{\sqrt{3}}{6}{a}^3$.    

D.  $V=\frac{1}{2}{a}^3$.

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{mx-1}$ có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang.

A.   $m\in ℝ\backslash \left\{-2\right\}.$              

B.   $m\in ℝ.$                         

C. $m\in ℝ\backslash \left\{-2;0\right\}.$   

D. $m\in ℝ\backslash \left\{0\right\}.$

Câu 4. Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100 được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 ?

A. 15.                                 

B. 30.                                 

C. 25.    

D. 20.

Câu 5. Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1=-3$, công sai d = 4. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $u_2=1$.                            

B. $u_4=8$.                           

C. $u_5=13$.    

D. $u_3=5$.

Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; - 4) , B(- 1; 3; -1) và C (2; - 3; - 10). Hỏi có bao nhiêu điểm để điểm đó cùng với ba điểm A, B, C tạo thành bốn đỉnh của một hình bình hành?

A. vô số.                             

B. 0.                                   

C. 1.    

D. 3.

Câu 7. Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2+2x$ và trục hoành. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng (H) quay xung quanh trục Ox.

A. $V=\frac{16\pi }{15}.$                    

B. $V=\frac{4\pi }{3}.$                      

C. $V=\frac{4}{3}.$    

D.$V=\frac{16}{15}.$

Câu 8. Số nghiệm nguyên của phương trình $4^{x^2}-{6.2}^{x^2}+8=0$ là

A.   4.

B.   1.

C.   3.

D. 2.

Câu 9. Giá trị cực đại của hàm số $y=x^3-3x+2$ là

A. 1.

B. 4.

C. - 1.

D. 0.

Câu 10. Cho mặt cầu (S) có tâm O. Một đường thẳng cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông. Biết dây cung AB = 2a, diện tích mặt cầu (S) bằng

A. $\frac{4}{3}\pi a^3$.                          

B. $8\pi a^2$.                             

C. $4\pi a^2$.    

D. $\frac{8\sqrt{2}}{3}\pi a^3$.

Câu 11. Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$. Biết $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=2$, tính $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x-f\left(x\right)\right)dx$.

A.I = 6.

B. I = - 2.

C. I = 2.

D. I = 0.

Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_3\left(x-4\right)+{\log }_3\left(x+4\right)<2$ là

A. (4; 5).                            

B. (- 5; 5).                         

C.  $\left(5;+\infty \right)$.    

D. $\left(-4;5\right)$.

Câu 13. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x-2}$ trên $\left(-\infty ;2\right)$ là

A.  $-\ln \left|x-2\right|+C.$             

B.  $-\ln \left(x-2\right)+C$.            

C.  $\ln \left(x-2\right)+C.$    

D.  $\ln \left(2-x\right)+C.$

Câu 14. Cho khối trụ có bán kính bằng 4a, chiều cao bằng 3a. Thể tích của khối trụ bằng

A. $36\pi a^3$.                         

B. $48\pi a^3$.                           

C.  $48a^3$.    

D. $36a^3$.

Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right):\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{-2}=1$. Vectơ nào dưới đây không là vectơ pháp tuyến của $\left(\alpha \right)$?

A. $\overrightarrow{n_1}=\left(1;2;-2\right)$.                

B. $\overrightarrow{n_2}=\left(2;1;-1\right)$.              

C. $\overrightarrow{n_3}=\left(1;\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$.    

D. $\overrightarrow{n_4}=\left(-2;-1;1\right)$.

Câu 16. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1; 2).                             

B. (-2; -1).                      

C. (-1; 1).    

D. $\left(-\infty ;-2\right)$.

Câu 17. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$?

A. $y=-3x^3+3x^2-x$.       

B. $y=\frac{x+1}{x-1}$.                     

C. $y=-x^2-x+1$.    

D. $y=-x^4-2x^2$.

Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) lần lượt có phương trình là 2x - 2y - z - 1 = 0 và 4x - 4y - 2z + 5 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng

A. 1.                                    

B. $\frac{1}{2}$.                                  

C. $\frac{7}{6}$.    

D. 2.

Câu 19. Cho khối hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên bằng 2a. Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho bằng

A.  $8a^3$.                             

B. $4a^3$.                             

C. $a^3$.    

D.$2a^3$.

Câu 20. Tập xác định của hàm số $y={\left(x-1\right)}^{\frac{4}{3}}$ là

A.   $\left[0;+\infty \right)$.                       

B.   $\left(0;+\infty \right)$.                        

C.   $\left(-\infty ;+\infty \right)$.    

D.  $\left(1;+\infty \right)$.

Câu 21. Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$. Gọi F(x), G(x) là hai nguyên hàm của f(x) trên $ℝ$ thỏa mãn F(0) - G(0) = 10 và F(1) = G(9). Tính $I=\underset{1}{\overset{3}{\int }}x.f\left(x^2\right)dx$.

A. I = 5.

B. I = 20.                          

C. I = - 20.    

D. I = - 5.

Câu 22. Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (GB'C') chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Gọi $V_1$ là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A, $V_2$ là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$.

A. $\frac{V_1}{V_2}=\frac{7}{5}$.                          

B. $\frac{V_1}{V_2}=\frac{3}{2}$.                          

C.$\frac{V_1}{V_2}=\frac{19}{8}$.    

D. $\frac{V_1}{V_2}=\frac{5}{4}$.

Câu 23. Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình $4^x-2m{.2}^x+m+2=0$ có hai nghiệm phân biệt.

     A. $m\in \left(1;+\infty \right).$                                                              B. $m\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(2;+\infty \right).$

     C. $m\in \left(0;2\right).$                                                                   D. $m\in \left(2;+\infty \right).$

Câu 24. Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+1}\left(a,b,c\in ℝ\right)$ có bảng biến thiên như sau:

Trong các số a, b và c có bao nhiêu số dương?

A. 1.                                    

B. 0.                                    

C. 3.    

D. 2.

Câu 25. Đồ thị hàm số $y=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x-3}& \text{khi }x\le 2\\ \frac{2x}{2-x}& \text{khi }x>2\end{array}\right.$ có tổng số đường tiệm cận đứng và ngang là

A. 4.                                    

B. 2.                                    

C. 3.    

D. 5.

Câu 26. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2\left(x^2-2x\right)$ với mọi $x\in ℝ.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^2-8x+m\right)$ có 5 điểm cực trị?

A. 18   

B. 16   

C. 17 

D. 15

Câu 27. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn $\frac{2^{x^2}-3^{4x}}{{\log }_2\left(2x+8\right)-10}\le 0$?

A. 505.                               

B. 504.                               

C. 501.    

D. 502.

Câu 28. Cho đa giác đều (H) có 2n đỉnh ($n\in \mathbb{N},n>2$). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác (H) gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là đỉnh của đa giác (H). Hỏi đa giác đều (H) có bao nhiêu đỉnh?

A. 12.                                  

B. 16.                                  

C. 6.    

D. 8.

Câu 29. Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên $ℝ$. Biết bảng xét dấu hàm số f'(x) như sau:

Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(1 - x) trên đoạn $\left[-3;1\right]$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $m=f\left(4\right)$.                     

B.$m=f\left(1\right)$.                      

C.m = f(0).    

D. m = f(3).

Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S_1\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y-3=0$ và điểm M(1;1;1). Gọi $\left(S_2\right)$ là mặt cầu đi qua M và chứa đường tròn giao tuyến của mặt cầu $\left(S_1\right)$ với mặt phẳng (Oyz) Tính bán kính R của mặt cầu $\left(S_2\right)$.

A. $R=\sqrt{11}.$                        

B. $R=2\sqrt{2}.$                     

C. R = 3     

D. $R=\sqrt{10}.$

Câu 31. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ đồng thời thỏa mãn f(2) = 3 và $\underset{0}{\overset{\ln 3}{\int }}\left(e^x-1\right)f\text{'}\left(e^x-1\right)dx=4$. Tính $K=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{{\left(1+x\right)}^2}dx$.

A. K = - 6                           

B. K = 2                            

C. K = 6     

D. K = - 2.

Câu 32. Cho hai hình cầu có bán kính lần lượt là $r_1=5\left(cm\right)$ và $r_2=10\left(cm\right)$ tiếp xúc với nhau. Một hình nón (N) có các đường sinh tiếp xúc với hai hình cầu và có mặt đáy tiếp xúc với hình cầu lớn như hình vẽ. Diện tích xung quanh của hình nón (N) bằng

A. $600\sqrt{2}\pi \left(c{m}^2\right)$.             

B. $600\pi \left(c{m}^2\right)$.                  

C. $1200\sqrt{2}\pi \left(c{m}^2\right)$.            

D. $1200\pi \left(c{m}^2\right)$.

Câu 33. Cho phương trình $x^2-\left(2m+3\right)x+m^2+3m-7-\ln \left(m+2-x\right)=0$ (m là tham số) và phương trình $x^2+3x-7-\ln \left(x+2\right)=0$. Gọi S là tổng tất cả các nghiệm của hai phương trình đã cho. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để $S\in \left(-20;20\right)$?

A. 39.                                  

B. 38.                                  

C. 19.    

D. 18.

Câu 34. Xét lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật, chiều cao của lăng trụ bằng 2 Mặt bên ABB'A' là hình vuông, cạnh AB = x. Khi điểm A' thuộc mặt cầu đường kính AC tìm giá trị của x để thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' đạt giá trị nhỏ nhất.

A. x = 2                              

B. $x=2\sqrt{2}.$                        

C. $x=\sqrt{6}.$    

D. $x=2\sqrt{3}.$

Câu 35. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|f\left(f\left(x\right)-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)+m-2\right|$ trên đoạn $\left[-1;1\right]$ không vượt quá 10?

A. 14.

B. 28.                                 

C. 12.

D. 21.

Câu 36. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để tồn tại đúng hai cặp số (x; y) thỏa mãn các điều kiện ${\log }_3\left(3x+3\right)+x=2y+9^y$ và $y={\log }_3\left(\frac{x+7-m}{2m}\right)$. Tổng các phần tử của tập S bằng

A. 10.                                  

B. 18.                                  

C. 12.    

D. 6.

Câu 37. Cho hàm số đa thức bậc bốn y = f(x), biết hàm số y = f(1 - x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-2; 0)                           

B. $\left(-\infty ;-2\right).$                       

C. $\left(0;\frac{3}{2}\right).$                          

D. $\left(\frac{3}{2};3\right).$

Câu 38. Cho khối trụ T có trục OO', bán kính r = 6 và thể tích là V. Cắt khối trụ T thành hai phần bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục OO' một khoảng bằng 3 (tham khảo hình vẽ). Gọi $V_1$ là thể tích phần không chứa trục OO'. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V}$.

A. $\frac{V_1}{V}=\frac{4-\sqrt{3}}{4\pi }.$                  

B. $\frac{V_1}{V}=\frac{\pi }{4}-\frac{\sqrt{3}}{3}.$                 

C. $\frac{V_1}{V}=\frac{\pi -\sqrt{3}}{2\pi }.$    

D. $\frac{V_1}{V}=\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4\pi }.$

Câu 39. Cho hàm số f(x) liên tục trên $\left[1;2\right]$$f\left(x\right)=2+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(6x+2t\right)f\left(t\right)dt,\forall x\in \left[1;2\right]$. Tính f(2).

A. $f\left(2\right)=-\frac{4}{3}$.                   

B. $f\left(2\right)=\frac{4}{3}$.                      

C. $f\left(2\right)=-\frac{2}{3}$.    

D. $f\left(2\right)=\frac{2}{3}$.

Câu 40. Cho hàm số đa thức bậc bốn y = f(x) có đồ thị (C) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là -1 và 2. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = f'(x) bằng $\frac{428}{5}$. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và parabol (P) đi qua ba điểm cực trị của đồ thị (C).

A. $S=\frac{81}{5}$.                          

B. $S=\frac{81}{20}$.                          

C. $S=\frac{81}{10}$.    

D. $S=\frac{81}{40}$.

Phần II: Viết đáp án (Viết câu trả lời vào tờ giấy thi theo hàng dọc, viết đơn vị nếu có)

Câu 41.  Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=-x^3-3x+6$ trên $\left[-1;1\right]$.

Câu 42.  Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+5}$.

Câu 43.  Tìm tập hợp giá trị thực của tham số m để hàm số $y=m{x}^4-\left(m-2\right)x^2-2$ có ba điểm cực trị.

Câu 44.  Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Hỏi phương trình $\left|a{x}^3-b{x}^2+cx-d\right|=4$ có bao nhiêu nghiệm dương?

Câu 45. Tính đạo hàm của hàm số $y=\log \left(-x\right)$.

Câu 46.  Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[-1;2\right]$. Biết 2f(2) + f(-1) = 4 và $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\text{'}\left(x\right)dx=2$. Tính f(2).

Câu 47. Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t = 0(s) chuyển động thẳng với gia tốc $a\left(t\right)=10-2t\left(m/s^2\right).$ Tính quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại.

Câu 48. Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a.

Câu 49. Cho hình nón có bán kính đáy r = 20cm và chiều cao h = 10cm. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo thiết diện có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Câu 50. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (1; - 1; 5) và N (0; 0;1). Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa M, N và song song với trục Oy.

Câu 51. Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Phương trình $f^2\left(x\right)-\left(2+{\log }_{2}x\right)f\left(x\right)+{\log }_2{x}^2=0$ có bao nhiêu nghiệm?

Câu 52. Xét các số thực dương a, b, c khác 1 thỏa mãn ${\log }_a\left(bc\right)=3,{\log }_b\left(ca\right)=4$. Tính giá trị của biểu thức ${\log }_c\left(ab\right).$

Câu 53. Cho hàm số đa thức bậc ba y = f(x). Biết đồ thị hàm số y  = f(x) có điểm cực đại là A(a;6) điểm cực tiểu là B (b; -2) và đi qua điểm C (c; 4) với a < b < c. Tính $I=\underset{a}{\overset{c}{\int }}\left|f\text{'}\left(x\right)\right|dx$.

Câu 54. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 4a, AC = 5a và AD = 6a Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh AB, AC, AD; G là trọng tâm tam giác BCD. Tính theo a thể tích của khối tứ diện GMNP

Câu 55. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $\widehat{BAD}=60°$, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD).

Câu 56. Có 2 hộp đựng các viên bi, trong mỗi hộp chỉ có các viên bi màu đỏ và màu xanh. Tổng số viên bi của hai hộp là 26. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi. Biết xác suất để chọn được hai viên bi màu xanh là $\frac{91}{160}$. Tính xác suất để chọn được 2 viên bi màu đỏ.

Câu 57.Cho hàm số bậc bốn y = f(x). Biết đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(\frac{1}{2}x+1\right)$ là đường cong trong hình vẽ.

Hàm số $g\left(x\right)=f\left(\sin x\right)+\frac{1}{2}{\sin }^{2}x+1$ có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)$?

Câu 58. Cho hàm số $f\left(x\right)=m{x}^4+n{x}^3+p{x}^2+qx+r$. Biết rằng đồ thị hàm số y = f'(x) cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai d >0. Gọi S là tập hợp các nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=f\left(b-\frac{d}{2}\right)$. Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử?

Câu 59. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn $10\left(x^2+y^2-xy\right)-\sqrt{2^{x+y}}\ge x^3+y^3-32$?

Câu 60.Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(-1;5;4\right),B\left(2;-1;1\right),C\left(-1;1;-4\right)$. Xét mặt phẳng (P) thay đổi đi qua I(1;1;2). Kí hiệu $T=d\left(A,\left(P\right)\right)+2d\left(B,\left(P\right)\right)+2d\left(C,\left(P\right)\right)$. Viết phương trình mặt phẳng (P) khi T đạt giá trị lớn nhất.

-------- HẾT--------

Phòng Giáo dục và Đào tạo Quảng Nam

Đề thi khảo sát Học sinh giỏi

Năm học 2024 - 2025

Bài thi môn: Toán 12

Thời gian làm bài: phút

(Đề số 2)

Câu 1.     Hàm số $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left(-\infty ;0\right)$ .                     

B. (0;1).                      

C. $\left(0;+\infty \right)$.                  

D. (1; 2).

Câu 2.     Cho hàm số $y=\frac{\sqrt{4x^2-x+1}}{2x+1}$ Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có phương trình là

A.  y = 1 hoặc y = -1.    

B. $x=-\frac{1}{2}$ .                  

C. $y=-\frac{1}{2}$ .                  

D. y = 2 .

Câu 3.     Họ nguyên hàm của hàm số $y=3x\left(1+\cos x\right)$ là

A.$\frac{3}{2}{x}^2+3\left(x\sin x-\cos x\right)+C$ .

B. $\frac{3}{2}{x}^2-3\left(x\sin x+\cos x\right)+C$.

C. $\frac{3}{2}{x}^2+3\left(x\sin x+\cos x\right)+C$.

D. $\frac{3}{2}{x}^2-3\left(x\sin x-\cos x\right)+C$.

Câu 4.     Thể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng $\sqrt{\frac{13}{3}}.a$ là

A. $\frac{a^3}{3}$ .                            

B. $a^3$ .                           

C. $\frac{a^3}{2}$ .                         

D. $2a^3$ .

Câu 5.     Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}$ bằng

A. $4\sqrt{5}$ .                         

B. $2\sqrt{5}$ .                       

C. $5\sqrt{2}$ .                       

D. 2.

Câu 6.     Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ , có bảng biến thiên như sau

Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên n để hàm số $y=\left|f\left(x\right)+n\right|$  có đúng 5 điểm cực trị?

A. 3.                               

B. 5 .                            

C. 4 .                            

D. 1 .

Câu 7.     Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_3^2\left(3x\right)-4{\log }_{3}x-9>0$ là

A. $\left(0;1\right)\cup \left(81;+\infty \right)$ .       

B. $\left(\frac{1}{9};81\right)$ .                  

C. $\left(0;\frac{1}{9}\right)\cup \left(81;+\infty \right)$ .    

D. $\left(4;+\infty \right)$ .

Câu 8.     Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^3-3a{x}^2+6$ trên đoạn $\left[0;3\right]$ . Có bao nhiêu giá trị a với $1<a<\frac{3}{2}$ để m + M = 3?

A. 0.                              

B. 2 .                            

C. 3 .                            

D. 1 .

Câu 9.     Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; -4) và đường thẳng $d:\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{3}$ . Gọi H(a;b;c) là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a + b+ c = 1.              

B. a + b + c = - 2 .         

C. a + b+ c = - 1 .          

D. a + b+ c = 2.

Câu 10. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $3x{.2}^x-x-{3.2}^x+1=0$ bằng

A. 0.                              

B. ${\log }_2\frac{2}{3}$.                    

C. 1.                             

D. ${\log }_{2}6$ .

Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{3}$ và mặt phẳng (P): x - y - z - 1 = 0. Gọi $\Delta$ là đường thẳng song song với (P) và vuông góc với đường thẳng d. Đường thẳng $\Delta$ có một vec tơ chỉ phương là

A. $\overrightarrow{u}=\left(-2;5;-3\right)$ .         

B. $\overrightarrow{u}=\left(2;5;3\right)$ .            

C. $\overrightarrow{u}=\left(2;-5;-3\right)$ .       

D. $\overrightarrow{u}=\left(2;5;-3\right)$ .

Câu 12. Tìm m để phương trình ${\log }_5^2\left(x+1\right)-2\left(m-2\right){\log }_5\left(x+1\right)-1=0$ có hai nghiệm $x_1;x_2$ sao cho $x_1+x_2+x_1.x_2=24$

A. m = 5.                        

B. m = 1 .                     

C. m = 2 .                    

D. m = 3 .

Câu 13. Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R = 5 và điểm M sao cho IM = 3. Đường thẳng $\Delta$ đi qua M cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A và B. Giá trị của $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ bằng

A. - 16.                          

B. 16 .                          

C. -15.                       

D. 15 .

Câu 14. Bất phương trình ${\log }_3\left(9+9^x\right)-{\log }_3\left(14-3^x\right)>{\log }_{3}2+x$ có tập nghiệm là:

A. $\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(2;{\log }_{3}14\right)$ .                                    B. $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(2;{\log }_{3}14\right)$ .

C. $\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(2;\frac{12}{5}\right)$ .                                        D. $\left(-\infty ;{\log }_{3}14\right)$ .

Câu 15. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{4\sin x\cos x}{1+2\cos x}$ và $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-1$ . Tính F(0)

A. $F\left(0\right)=3-\frac{1}{2}\ln 3$ .

B. $F\left(0\right)=\ln 3-3$ .     

C. $F\left(0\right)=3-\ln 3$ .      

D. $F\left(0\right)=-2-\frac{1}{2}\ln 2$ .

Câu 16. Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng $12\pi$ , góc ở đỉnh hình nón bằng $120°$ . Bán kính đáy hình nón gần nhất với số nào dưới đây?

A. 3,2.                           

B. 3,21 .

C. 3,23.                       

D. 3,22 .

Câu 17. Cho số thực a > 2. Tính theo a giá trị của tích phân $K=\underset{2}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{1-x^2}\text{d}x$ .

A. $K=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1-a^2}{3}\right|$ .                                              B. $K=\ln \frac{a+1}{3\left(a-1\right)}$ .

C. $K=\frac{1}{2}\left(\ln \left|1-a^2\right|+3\right)$ .                                       D. $K=\frac{1}{2}\ln \frac{a+1}{3\left(a-1\right)}$ .

Câu 18. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ và thỏa mãn $\underset{0}{\overset{1}{\int }}xf\left(x^2+1\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=2.$  Tính tích phân $I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x$ .

A. I = 4.                        

B. I = 2 .                      

C. I = 1 .                       

D. I = 3 .

Câu 19. Tính diện tích xung quanh $S_{xq}$  của hình trụ có thể tích $V=12\sqrt{3}\pi$  và bán kính đáy R = 2

A. $S_{xq}=4\sqrt{3}\pi$ .              

B. $S_{xq}=6\sqrt{3}\pi$ .           

C. $S_{xq}=12\sqrt{3}\pi$ .          

D. $S_{xq}=10\sqrt{3}\pi$ .

Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A( 1; 1; -1). Mặt phẳng (P) qua A và chứa đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{3}$  có phương trình là

A. -3x + 12y - 2z + 11 = 0.                                   B. -3x - 12y + 2z - 11 = 0.

C. 3x - 12y + 2z + 11 = 0.                                      D. 3x - 12y - 2z + 11 = 0.

Câu 21. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để phương trình $9{\left(\sqrt{10}+3\right)}^x+{\left(\sqrt{10}-3\right)}^x-m=0$  có hai nghiệm âm phân biệt. Số tập con của tập S bằng

A. 2.                               

B. 16.                           

C. 4.                             

D. 8.

Câu 22. Cho khối hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ có thể tích V = 96. M là trung điểm của $D{D}_1$ .Tính thể tích của khối chóp $AB{C}_{1}M$ .

A. 8.                              

B. 16 .                           

C. 12 .                           

D. 18 .

Câu 23. Cho hàm số $y=x^4+b{x}^2+c$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt  A, B, C , D lần lượt có hoành độ ( $x_1<x_2<x_3<x_4$) và AD = 2BC. Điểm M (b; c) thuộc đồ thị hàm số nào dưới đây?

A. $y=\frac{4}{25}{x}^2$ .                  

B. $y=\frac{16}{25}{x}^2$ .               

C. $y=\frac{4}{9}{x}^2$ .                  

D. $y=\frac{9}{25}{x}^2$ .

Câu 24. Có bao nhiêu số tự nhiên của tham số a để phương trình $4x^3-a{x}^2+2x-1=0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0; 1)?

A. 4.                              

B. 5.                            

C. 6.                             

D. 7.

Câu 25. Cho lăng trụ đứng $ABC.A_1{B}_1{C}_1$  có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = 1, BC = 4 và mặt bên $AC{C}_1{A}_1$ là hình vuông. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A_{1}C$  và $A{B}_1$  bằng

A. $\frac{3}{4}$ .                             

B. $\frac{1}{3}$ .                           

C. $\frac{1}{2}$ .                           

D. $\frac{2}{3}$ .

Câu 26. Cho các số thực x, y không âm thỏa mãn $2\left(x^2+y^2\right)=xy+1$ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^4+y^4}{2xy+1}$ . Giá trị của biểu thức M + 3m bằng

A. $\frac{13}{15}$ .                            

B. $\frac{11}{20}$ .                         

C. $\frac{13}{20}$ .                         

D. $\frac{11}{15}$ .

Câu 27. Cho hình trụ có bán kính đáy R = 6. Hai điểm A, B thuộc đường tròn đáy dưới sao cho AB = 6. Điểm C thuộc đường tròn đáy trên sao cho AC có độ dài lớn nhất. Biết sin góc giữa mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng đáy bằng $\frac{3}{5}$ . Diện tích thiết diện qua trục hình trụ bằng

A. 96$\sqrt{3}$ .                       

B. $27\sqrt{3}$ .                     

C. $54\sqrt{3}$ .                     

D. $81\sqrt{3}$ .

Câu 28. Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương của tham số m để phương trình $\log \frac{3x^2+3x+m+1}{4x^2-2x+2}=x^2-5x+1-m$ có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ thoả mãn $x_1^2+x_2^2\le 2023$ ?

A. 1000.                         

B. 2023 .                      

C. 1001 .                       

D. 999 .

Câu 29. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=4$ lên mặt phẳng Oxy là hình (L). Gọi M (a; b; c) là điểm trên (L)  sao cho OM lớn nhất. Giá trị của biểu thức 3a + b + c gần nhất với số nào dưới đây?

A. 1,8.                            

B. 1,6 .                         

C. 1,7 .                         

D. 1,9 .

Câu 30. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=4;y=x^2$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A (2; 4) và chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Hệ số góc của đường thẳng $\Delta$ gần nhất với số nào dưới đây?

A. 0,84.                         

B. 0,83 .                       

C. 0,82 .                       

D. 0,85 .

Câu 31. Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=-x,x=3$ quay quanh trục Ox (xem hình vẽ)

A. $\frac{9}{2}\pi$ .                           B. $\frac{27}{2}\pi$ .                       C. $\frac{55}{6}\pi$ .                       D. $9\pi$ .

Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại các đỉnh A, D và AD= DC= a, AB = 2a Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của AB. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE bằng

A. $\frac{23}{3}\pi a^2$ .                     

B. $11\pi a^2$ .                    

C. $\frac{23}{2}\pi a^2$ .                   

D. $12\pi a^2$ .

Câu 33. Có 10 bạn nam (trong đó có một bạn tên An) và có 10 bạn nữ (trong đó có một bạn tên Bình) cùng tham gia một trò chơi. Chia ngẫu nhiên 20 bạn đó thành 5 đội chơi, mỗi đội gồm 2 nam và 2 nữ. Xác suất để hai bạn An và Bình được xếp vào cùng một đội chơi bằng.

A. $\frac{1}{5}$ .                             

B. $\frac{1}{25}$ .                         

C. $\frac{1}{125}$ .                       

D. $\frac{1}{20}$ .

Câu 34. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên $ℝ$ và thỏa mãn ${\left[f\left(x+1\right)\right]}^2=f\left(x+x^2\right)-x^2-x+2$ với mọi $x\in ℝ$ và $f\left(2\right)\ne 0$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = 2 là

A. 2x + y - 5 = 0.          

B. 3x - y - 5 = 0 .        

C. x - y - 1 = 0.           

D. x - 3y + 1 = 0

Câu 35. Trong không gian Oxyz, một hình chữ nhật có hai đỉnh không liên tiếp có tọa độ là

$\left(3;-2;2\sqrt{3}\right)$, $\left(-3;2;-2\sqrt{3}\right)$ ; hai đỉnh còn lại nằm trên mặt phẳng Oxy có hoành độ và tung độ độ đều là số nguyên. Có bao nhiêu hình chữ nhật như thế?

A. 8.                             

B. 2 .                           

C. 4 .                           

D. 6

Câu 36. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Các điểm S, B, C nằm trên mặt xung quanh của hình nón có đỉnh là điểm A. Góc ở đỉnh của hình nón bằng

A. $2\arcsin \frac{2}{\sqrt{5}}.$ .             

B. $2\arcsin \frac{3}{\sqrt{5}}.$ .           

C. $2\arcsin \frac{3}{2\sqrt{5}}.$ .         

D. $2\arcsin \frac{2}{3\sqrt{5}}.$

Câu 37. Biết biểu thức $f\left(x;y\right)=\sqrt{x^2+y^2+2x-6y+35}+\sqrt{x^2+y^2-4x+8y+29}$ , với x, y $\in ℝ$, đạt giá trị nhỏ nhất tại $\left(x_0;y_0\right)$ . Tính giá trị biểu thức $P=x_0+y_0$

A. P = 2 .                        

B. $P=\frac{1}{2}$ .                    

C. 1 .                             

D. $P=\frac{-1}{2}$ .

Câu 38. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ.

Gọi $m_0$  là giá trị nhỏ nhất của tham số m để đồ thị hàm số $h\left(x\right)=\left|f^2\left(x+1\right)+f\left(x+1\right)+m\right|$  có số điểm cực trị ít nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $m_0\in \left(-\infty ;-1\right)$ .           

B. $m_0\in \left(-1;0\right)$ .           

C. $m_0\in \left(0;1\right)$ .              

D. $m_0\in \left(1;+\infty \right)$ .

Câu 39. Cho hàm số y = f(x), biết đồ thị của hai hàm số y = f(x) và $y=3^{x+1}$ đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Khi đó với a, b là 2 số thực dương thỏa mãn $a+2b\le 1$ thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức $f\left(\frac{2a+b+1}{2a+2b}\right)$ nằm trong khoảng nào?

A. (- 0,6; - 0,5).             

B. (- 0,7; - 0,6).          

C. (-0,4; - 0,3) .          

D. (- 0,5; - 0, 4) .

Câu 40. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[0;1\right]$ thỏa mãn f(0) = 0, $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^2\text{d}x=\frac{8}{15}$ và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}xf\left(x\right)\text{d}x=\frac{4}{15}$ . Tính $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ .

A. $I=\frac{5}{12}$ .                      

B. $I=\frac{7}{15}$ .                    

C. $I=\frac{-7}{15}$ .                   

D. $I=\frac{-5}{12}$ .

................................

................................

................................

Trên đây tóm tắt một số nội dung miễn phí trong bộ Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2024 mới nhất, để mua tài liệu trả phí đầy đủ, Thầy/Cô vui lòng xem thử:

Xem thử

Xem thêm Đề thi học sinh giỏi lớp 12 năm 2024 các môn học khác:

• Đề thi học sinh giỏi Văn 12
• Đề thi học sinh giỏi Tiếng Anh 12

---