Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và điểm F(1; 1)

Trang trước Trang sau

Bài 4 trang 65 Chuyên đề Toán 10: Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và điểm F(1; 1). Viết phương trình đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau:

a) e = $\frac{1}{2}$ ;

b) e = 1;

c) e = 2.

Lời giải:

a) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{M F}{d (M; Δ)} = e$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}}}{\frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \frac{1}{2} . \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \frac{1}{2} . \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow {(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2} = \frac{{| x + y - 1 |}^{2}}{8}$

$\Leftrightarrow (1 - 2 x + x^{2}) + (1 - 2 y + y^{2}) = \frac{x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y}{8}$

$\Leftrightarrow 8 (1 - 2 x + x^{2} + 1 - 2 y + y^{2}) = x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y$

$\Leftrightarrow 7 x^{2} + 7 y^{2} - 2 x y - 14 x - 14 y + 15 = 0 .$

Vậy phương trình của conic đã cho là $7 x^{2} + 7 y^{2} - 2 x y - 14 x - 14 y + 15 = 0 .$

b) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{M F}{d (M; Δ)} = e$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}}}{\frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}} = 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow {(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2} = \frac{{| x + y - 1 |}^{2}}{2}$

$\Leftrightarrow (1 - 2 x + x^{2}) + (1 - 2 y + y^{2}) = \frac{x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y}{2}$

$\Leftrightarrow 2 (1 - 2 x + x^{2} + 1 - 2 y + y^{2}) = x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2 x y - 2 x - 2 y + 1 = 0 .$

Vậy phương trình của conic đã cho là $x^{2} + y^{2} - 2 x y - 2 x - 2 y + 1 = 0 .$

c) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{M F}{d (M; Δ)} = e$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}}}{\frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}} = 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = 2 . \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \sqrt{2} . | x + y - 1 |$

$\Leftrightarrow {(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2} = 2 {| x + y - 1 |}^{2}$

$\Leftrightarrow (1 - 2 x + x^{2}) + (1 - 2 y + y^{2}) = 2 (x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y)$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 4 x y - 2 x - 2 y = 0 .$

Vậy phương trình của conic đã cho là $x^{2} + y^{2} + 4 x y - 2 x - 2 y = 0 .$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học