Cho elip (E): x^2/25 + y^2/9 = 1 Xác định toạ độ các đỉnh, tiêu điểm và tìm tâm sai của (E)

Bài 2 trang 65 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $(E) : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

a) Xác định toạ độ các đỉnh, tiêu điểm và tìm tâm sai của (E).

b) Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có tiêu điểm là tiêu điểm có hoành độ dương của (E).

c) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có hai đỉnh là hai tiêu điểm của (E), hai tiêu điểm là hai đỉnh của (E). Tìm tâm sai của (H).

Lời giải:

a) Có a² = 25, b² = 9 $\Rightarrow$ a = 5, b = 3, $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{25 - 9} = 4, \frac{c}{a} = \frac{4}{5} .$

Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(–5; 0), A₂(5; 0), B₁(0; –3), B₂(0; 3).

Toạ độ các tiêu điểm của elip là F₁(–4; 0), F₂(4; 0).

Tâm sai của elip là e = $\frac{4}{5} .$

b) Gọi phương trình chính tắc của (P) là y² = 2px (p > 0).

(P) có tiêu điểm là F₂(4; 0) $\Rightarrow \frac{p}{2} = 4 \Rightarrow$ p = 8

$\Rightarrow$ Phương trình chính tắc của parabol (P) là y² = 16x.

c) Gọi phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > 0, b > 0).

(H) có hai đỉnh là F₁(–4; 0), F₂(4; 0); hai tiêu điểm là A₁(–5; 0), A₂(5; 0)

$\Rightarrow$ a = 4, c = 5 $\Rightarrow$ b = $\sqrt{c^{2} - a^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3 .$

Vậy phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1 .$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học