Bài toán về định luật phóng xạ (cách giải + bài tập)

Trang trước Trang sau

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Bài toán về định luật phóng xạ lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Bài toán về định luật phóng xạ.

6.1. Khối lượng còn lại và khối lượng đã bị phân rã

1. Phương pháp giải

Giả sử khối lượng nguyên chất ban đầu là m₀ thì đến thời điểm t khối lượng còn lại và khối lượng bị phân rã lần lượt là:

$\{\begin{cases} m = m_{0} e^{- \frac{\ln 2}{T} t} \\ Δ m = m_{0} - m = m_{0} (1 - e^{- \frac{\ln 2}{T} t}) \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} m = m_{0} 2^{- \frac{t}{T}} \\ Δ m = m_{0} (1 - 2^{- \frac{t}{T}}) \end{cases}$

2. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Radon $_{86}^{222} R n$ là một chất phóng xạ có chu kỳ bán rã là 3,8 ngày đêm. Nếu ban đầu có 64 g chất này thì sau 19 ngày khối lượng Radon bị phân rã là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Khối lượng Radon bị phân rã là: $Δ m = m_{0} (1 - e^{- \frac{\ln 2}{T} t}) = 64 (1 - e^{- \frac{\ln 2}{3, 8} 19}) = 62 (g a m) .$

Ví dụ 2: Sau 1 năm, khối lượng chất phóng xạ nguyên chất giảm đi 3 lần. Hỏi sau 2 năm khối lượng chất phóng xạ trên giảm đi bao nhiêu lần so với ban đầu?

Hướng dẫn:

$m = m_{0} e^{- \frac{\ln 2}{T} t} \Rightarrow \frac{m_{0}}{m} = e^{\frac{\ln 2}{T} t} \{\begin{cases} t = 1 (n a m) \Rightarrow \frac{m_{0}}{m_{1}} = e^{\frac{\ln 2}{T} 1} = 3 \Rightarrow e^{\frac{\ln 2}{T}} = 3 \\ t = 2 (n a m) \Rightarrow \frac{m_{0}}{m_{2}} = e^{\frac{\ln 2}{T} 2} = 3^{2} = 9 \end{cases} .$

Ví dụ 3: Ban đầu có một mẫu Po210 nguyên chất khối lượng 1(g) sau 596 ngày nó chỉ còn 50 mg nguyên chất. Chu kì của chất phóng xạ là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

$m = m_{0} e^{- \frac{\ln 2}{T} t} \Rightarrow \frac{m_{0}}{m} = e^{\frac{\ln 2}{T} t} \Rightarrow 20 = e^{\frac{\ln 2}{T} .596} \Rightarrow T = 137, 9$ (ngày).

3. Bài tập tự luyện

Câu 1: Na24 là một chất phóng xạ $β^{-}$ có chu kỳ bán rã T = 15 giờ. Một mẫu Na24 nguyên chất ở thời điểm t = 0 có khối lượng m_o = 72 g. Sau một khoảng thời gian t, khối lượng của mẫu chất chỉ còn m = 18 g. Thời gian t có giá trị

A. 30 giờ.

B. 45 giờ.

C. 120 giờ.

D. 60 giờ.

Hướng dẫn

$m = m_{0} e^{- \frac{\ln 2}{T} t} \Rightarrow \frac{m_{0}}{m} = e^{- \frac{\ln 2}{T} t} \Rightarrow \frac{72}{18} = e^{\frac{\ln 2}{15} t} \Rightarrow t = 30 (h) \Rightarrow$ Chọn A

Câu 2: Một mẫu than bùn khi được đem lên từ vùng đầm lầy cổ có chứa 980 $μ g$ đồng vị phóng xạ $_{6}^{14} C .$ Biết rằng chu kì bán rã của $_{6}^{14} C$ là 5 730 năm. Hãy xác định:

a) khối lượng $_{6}^{14} C$ chứa trong mẫu than bùn này sau 2 000 năm.

b) thời điểm tại đó khối lượng $_{6}^{14} C$ trong mẫu than bùn này còn lại 100 $μ g$ .

Hướng dẫn:

a) Khối lượng $_{6}^{14} C$ chứa trong mẫu than bùn sau 2000 năm là:

$m_{t} = m_{0} 2^{- \frac{t}{T}} = {980.2}^{- \frac{2000}{5730}} \approx 769, 4 μ g$

b) Thời điểm mà khối lượng $_{6}^{14} C$ trong mẫu than bùn này còn lại 100 $μ g$ là:

$m_{t} = m_{0} 2^{- \frac{t}{T}} \Rightarrow 100 = {980.2}^{- \frac{t}{5730}} \Rightarrow t \approx 18867, 64$ năm

Câu 3. Công thức nào dưới đây đúng với nội dung của định luật phóng xạ?

A. $m = m_{0} e^{λ t} .$

B. $m = m_{0} e^{- λ t} .$

C. $m = m_{0} e^{- \frac{λ}{t}} .$

D. $m = m_{0} e^{- \frac{t}{T}} .$

Hướng dẫn:

Đáp án đúng là B

Câu 4. Một mẫu phóng xạ có chu kì bán rã là 3 ngày. Sau 9 ngày, khối lượng của mẫu phóng xạ này còn lại là 2 kg. Khối lượng ban đầu của mẫu là bao nhiêu?

A. 15 kg.

B. 16 kg.

C. 17 kg.

D. 14 kg.

Hướng dẫn:

Đáp án đúng là B

Từ công thức $m = m_{0} 2^{- \frac{t}{T}} \Rightarrow 2 = m_{0} {.2}^{- \frac{9}{3}} \Rightarrow m_{0} = 16$ kg.

Câu 5. Chu kì bán rã của một mẫu phóng xạ là 6 giờ. Lúc đầu mẫu có khối lượng 2,4.10^-2 kg. Hỏi sau một ngày đêm, khối lượng của mẫu còn lại bằng bao nhiêu?

A. 3.10^-3 kg.

B. 1,5.10^-3 kg.

C. 2,5.10^-3 kg.

D. 2,10^-3 kg.

Hướng dẫn:

Đáp án đúng là B

Áp dụng công thức $m = m_{0} 2^{- \frac{t}{T}} = 2, {4.10}^{- 2} {.2}^{- \frac{24}{6}} = 1, {5.10}^{- 4} k g .$

Câu 6. Sau 3 giờ phóng xạ, số hạt nhân của một mẫu đồng vị phóng xạ chỉ còn 25% số hạt nhân ban đầu. Chu kì bán rã của đồng vị này là

A. 1 giờ.

B. 2 giờ.

C. 2,5 giờ.

D. 1,5 giờ.

Hướng dẫn:

Đáp án đúng là D

Áp dụng công thức $m = m_{0} {.2}^{- \frac{t}{T}} \Rightarrow 0, 25 m_{0} = m_{0} {.2}^{- \frac{3}{T}} \Rightarrow T = 1, 5$ giờ.

Câu 7. Một chất phóng xạ lúc đầu có 40 mg; chu kì bán rã là 10 giờ. Hỏi sau bao lâu thì khối phóng xạ trên còn 10 mg.

A. 10 giờ.

B. 5 giờ.

C. 20 giờ.

D. 40 giờ.

Hướng dẫn:

Đáp án đúng là C

Áp dụng công thức $m = m_{0} {.2}^{- \frac{t}{T}} \Rightarrow 10 = {40.2}^{- \frac{t}{10}} \Rightarrow t = 20$ giờ.

6.2. Số hạt còn lại và số hạt đã bị phân rã

1. Phương pháp giải

Số nguyên tử ban đầu: $\{\begin{cases} N_{0} = \frac{m_{0}}{A} . N_{A} \\ N_{0} = \frac{k h o i l u o n g t o a n b o}{K h o i l u o n g 1 h a t} \end{cases}$

Giả sử số hạt nguyên chất ban đầu là N₀ thì đến thời điểm t số hạt còn lại và số hạt bị phân rã (chính là số hạt nhân con tạo thành) lần lượt là:

$\{\begin{cases} N = N_{0} e^{- \frac{\ln 2}{T} t} \\ Δ N = N_{0} - N = N_{0} (1 - e^{- \frac{\ln 2}{T} t}) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} N = N_{0} 2^{- \frac{t}{T}} \\ Δ N = N_{0} (1 - 2^{- \frac{t}{T}}) \end{cases}$

2. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Một chất phóng xạ ban đầu có N₀ hạt nhân. Sau 1 năm, còn lại một phần ba số hạt nhân ban đầu chưa phân rã. Sau 1 năm nữa, số hạt nhân còn lại chưa phân rã của chất phóng xạ đó là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Sau $t_{1} = 1$ năm đầu, ta có $N_{1} = \frac{1}{3} N_{0} = \frac{N_{0}}{2^{\frac{t_{1}}{T}}} = \frac{N_{0}}{2^{\frac{1}{T}}} \Rightarrow 2^{\frac{1}{T}} = 3$

Sau 1 năm tiếp theo tương ứng với $t_{2} = 2$ năm, số hạt nhân còn lại chưa phân rã của chất phóng xạ đó là: $N_{1} = \frac{N_{0}}{2^{\frac{t_{2}}{T}}} = \frac{N_{0}}{2^{\frac{2}{T}}} = \frac{N_{0}}{{(2^{\frac{1}{T}})}^{2}} = \frac{N_{0}}{3^{2}} = \frac{N_{0}}{9}$ .

Ví dụ 2. Sau 1 năm trong 1 miligam ¹⁴⁴Ce có 2,5.10¹⁸ hạt bị phân rã. Hỏi chu kì bán rã của ¹⁴⁴Ce bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Số nguyên tử chứa trong $1 {mg}^{144} Ce$ là: $N_{0} = \frac{m_{0}}{A} . N_{A} = \frac{10^{- 3}}{144} .6, {023.10}^{23} = 4, 182 \cdot 10^{18}$

Số nguyên tử bị phân rã trong thời gian t là:

$Δ N = N_{0} (1 - 2^{- \frac{t}{T}}) \Rightarrow 2, {5.10}^{18} = 4, {182.10}^{18} . (1 - 2^{- \frac{1}{T}}) \Rightarrow T = 0, 76$ năm.

Ví dụ 3: $_{84}^{210} Po$ là một đồng vị phóng xạ có chu kì bán rã là 138,4 ngày. Xét một mẫu chất đang chứa N₀ hạt nhân $_{84}^{210} Po$ (tại thời điểm ban đầu). Sau bao lâu kể từ thời điểm ban đầu thì tỉ số giữa số hạt nhân $_{84}^{210} Po$ đã phân rã thành hạt nhân khác và số hạt nhân $_{84}^{210} Po$ còn lại bằng 7?

A. 415,2 ngày.

B. 387,5 ngày.

C. 34,6 ngày.

D. 968,8 ngày.

Hướng dẫn:

Đáp án đúng là A

Khoảng thời gian cần tìm là:

$\frac{Δ N_{t}}{N_{t}} = \frac{N_{0} (1 - 2^{- \frac{t}{T}})}{N_{0} 2^{- \frac{t}{T}}} = 2^{\frac{t}{T}} - 1 = 7 \Rightarrow t = 3 T = 3.138, 4 = 415, 2 ngày$

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Ban đầu có $12, 0 g$ cobalt $_{27}^{60} Co$ là chất phóng xạ $β^{-}$ với chu kì bán rã $T = 5, 27$ năm. Tính số nguyên tử đã phân rã sau thời gian $t = 10, 54$ z năm.

Hướng dẫn:

$Δ N = N_{0} (1 - 2^{- \frac{t}{T}}) = \frac{12}{60} .6, {02.10}^{23} . (1 - 2^{- \frac{10, 54}{5, 27}}) = 9, {03.10}^{22}$ hạt nhân.

Câu 2. Một phòng thí nghiệm ban đầu mua về một mẫu polonium có chứa $2, 1 g_{84}^{210} Po$ . Các hạt nhân $_{84}^{210} Po$ phóng xạ $α$ và biến thành hạt nhân bền X. Xác định chu kì bán rã của $_{84}^{210} Po$ , biết rằng trong 1 năm sau đó nó tạo ra $0, 0084 mol$ khí He.

Hướng dẫn:

Số nguyên tử $_{84}^{210} Po$ tại thời điểm ban đầu:

$N_{0} = \frac{m_{0}}{A} N_{A} = \frac{2, 1}{210} .6, {02.10}^{23} = 6, {02.10}^{21}$ nguyên tử.

Số nguyên tử $_{2}^{4} He$ được tạo thành bằng số nguyên tử $_{84}^{210} Po$ đã phân rã:

$Δ N = N_{0} - N = N_{0} (1 - 2^{- \frac{t}{T}})$

Số nguyên tử $_{2}^{4} He$ được tạo thành trong một năm là:

$Δ N = (0, 0084 mol) \cdot (6, 02 \cdot 10^{23} \frac{nguyên tu}{mol}) = 5, 06 \cdot 10^{21}$ nguyên tử

Ta có: $(1 - 2^{- \frac{1}{T}}) = \frac{Δ N}{N_{0}} \Rightarrow 2^{- \frac{1}{T}} = 1 - \frac{Δ N}{N_{0}} \Rightarrow - \frac{1}{T} = \log_{2} (1 - \frac{Δ N}{N_{0}})$

T = 0,378 năm = 138 ngày.

Câu 3: Một mẫu U238 có khối lượng 1 (g) phát ra 12400 hạt anpha trong một giây. Tìm chu kì bán rã của đồng vị này. Coi một năm có 365 ngày, số avogadro là 6,023.10²³.

Hướng dẫn:

$N_{α} = \frac{m_{0}}{A_{m e}} N_{A} (1 - e^{- \frac{\ln 2}{T} t}) \approx \frac{m_{0}}{A_{m e}} N_{A} . \frac{\ln 2}{T} t$

$\Rightarrow 12400 \approx \frac{1}{238} .6, {023.10}^{23} . \frac{\ln 2}{R} \frac{1 (n a m)}{365.86400} \Rightarrow T = 4, {5.10}^{9}$ (năm).

Câu 4: Chất phóng xạ pôlôni $_{84}^{210} Po$ phát ra tia α và biến đổi thành chì $_{82}^{206} P b .$ Cho chu kì bán rã của $_{84}^{210} Po$ là 138 ngày. Ban đầu (t = 0) có một mẫu pôlôni nguyên chất. Tại thời điểm t₁, tỉ số giữa số hạt nhân pôlôni và số hạt nhân chì trong mẫu là 1/3. Tại thời điểm t₂ = t₁ + 276 ngày, tỉ số giữa số hạt nhân pôlôni và số hạt nhân chì trong mẫu là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Đến thời điểm t, số hạt nhân Po210 còn lại và số hạt nhân chì Pb208 tạo thành lần lượt là:

$\{\begin{cases} N_{P 0} = N_{0} e^{^{- \frac{\ln 2}{T} t}} \\ N_{P b} = Δ N = N_{0} (1 - e^{- \frac{\ln 2}{T} t}) \end{cases}$

$\Rightarrow \frac{N_{P b}}{N_{P 0}} = e^{\frac{\ln 2}{T} t} - 1 \Rightarrow \{\begin{cases} {(\frac{N_{P b}}{N_{P 0}})}_{t_{1}} = e^{\frac{\ln 2}{T} t_{1}} - 1 = 3 \Rightarrow e^{\frac{\ln 2}{T} t_{1}} = 4 \\ {(\frac{N_{P b}}{N_{P o}})}_{2} = e^{\frac{\ln 1}{T} t_{2}} - 1 = e^{\frac{\ln 2}{T} (t_{1} + 276)} - 1 \end{cases}$

$\Rightarrow {(\frac{N_{P b}}{N_{P o}})}_{2} = e^{\frac{\ln 2}{T} t_{1}} .4 - 1 = 15 \Rightarrow {(\frac{N_{P}}{N_{P b}})}_{t_{2}} = \frac{1}{15} .$

Câu 5: Một mẫu chất phóng xạ X phân rã theo thời gian và phát ra các hạt $α$ . Số lượng các hạt $α$ này được ghi nhận bởi một máy thu (ống Geiger-Muller) và được biểu diễn theo thời gian t như đồ thị ở dưới

Bài toán về định luật phóng xạ (cách giải + bài tập)

Hằng số phóng xạ của chất phóng xạ là

A. 0,081 s^-1.

B. 0,173 s^-1.

C. 0,231 s^-1.

D. 0,058 s^-1.

Hướng dẫn:

Đáp án đúng là A

$N_{α} = N_{0} \cdot (1 - 2^{- \frac{t}{T}}) \Rightarrow \{\begin{array}{l} 3 = N_{0} \cdot (1 - 2^{- \frac{2}{T}}) \\ 15 = N_{0} \cdot (1 - 2^{- \frac{17}{T}}) \end{array} \Rightarrow \frac{3}{15} = \frac{1 - 2^{- \frac{2}{T}}}{1 - 2^{- \frac{17}{T}}} \Rightarrow T \approx 8, 56 s$

$\Rightarrow λ = \frac{\ln 2}{T} = \frac{\ln 2}{8, 56} \approx 0, 081 s^{- 1}$

Câu 6: Một trong những nguồn cung cấp năng lượng được sử dụng cho các máy phát nhiệt điện đồng vị phóng xạ (Radioisotope Thermoelectric Generator – RTG) hiện nay là $_{84}^{210} Po$ bởi nguồn năng lượng lớn mà quá trình phân rã a của hạt nhân này mang lại. Biết rằng chu kì bán rã của $_{84}^{210} Po$ là 138 ngày và hạt nhân con của quá trình phóng xạ là $_{82}^{206} Pb .$ Nếu tại thời điểm t = 0 có một mẫu polonium nguyên chất bắt đầu phân rã thì tại thời điểm t₁, tỉ số giữa số hạt nhân $_{82}^{206} Pb$ tạo thành và số hạt nhân $_{84}^{210} Po$ còn lại bằng 15. Tại thời điểm t₂ = t₁ + 966 ngày thì tỉ số này sẽ bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Số hạt nhân con tạo thành bằng số hạt nhân mẹ đã bị phân rã.

Tại thời điểm $t_{1}$ , ta có: $\frac{N_{Pb}}{N_{Po}} = \frac{1 - 2^{- \frac{t_{1}}{T}}}{2^{- \frac{t_{1}}{T}}} = 2^{\frac{t_{1}}{T}} - 1 = 15 \Rightarrow t_{1} = 4 T$ .

Tại thời điểm $t_{2} = t_{1} + 966$ , ta có: $\frac{N_{Pb}^{'}}{N_{Po}^{'}} = 2^{\frac{t_{2}}{T}} - 1 = 2^{\frac{4.138 + 966}{138}} - 1 = 2047.$

Câu 7: Trong vật lí hạt nhân, máy đo bức xạ (máy đếm/ ống đếm) Geiger-Muller được sử dụng rộng rãi trong việc đo số lượng hạt $α, β$ bằng cách ứng dụng khả năng ion hoá của các tia bức xạ này. Số tín hiệu máy đếm được tỉ lệ thuận với số lượng hạt nhân bị phân rã. Xét hai máy đếm Geiger-Muller giống nhau lần lượt được chiếu xạ bởi hai mẫu chất phóng xạ $_{84}^{210} Po$ và $_{53}^{131} I$ (mỗi hạt nhân khi phân rã chỉ phát ra một tia phóng xạ). Biết rằng các mẫu chất phóng xạ được đặt ở cùng một khoảng cách so với các máy đếm tại 2 phòng khác nhau. Nếu khối lượng của từng mẫu phóng xạ tại thời điểm ban đầu đều là 1 g thì trong vòng 1 ngày đêm đầu tiên, máy nào đếm được nhiều tín hiệu hơn? Lấy khối lượng của các hạt nhân gần bằng số khối của chúng; chu kì bán rã của $_{84}^{210} Po$ và $_{53}^{131} I$ lần lượt là 138,40 ngày và 8,02 ngày; số Avogadro N_A ≈ 6,022.10²³ mol^-1.

Hướng dẫn:

Số lượng hạt nhân $_{84}^{210} Po$ phân rã là:

$Δ N_{Po} = N_{0 (Po)} (1 - 2^{- \frac{t}{T_{Po}}}) = \frac{m_{0 (Po)}}{A_{Po}} \cdot N_{A} (1 - 2^{- \frac{t}{T_{Po}}})$

$= \frac{1}{210} \cdot 6, 022 \cdot 10^{23} \cdot (1 - 2^{- \frac{1}{138, 4}}) \approx 1, 43 \cdot 10^{19}$ hạt

Số lượng hạt nhân $_{53}^{131} I$ phân rã là:

$Δ N_{I} = N_{O (I)} (1 - 2^{- \frac{1}{T_{1}}}) = \frac{m_{0 (1)}}{A_{I}} \cdot N_{A} (1 - 2^{- \frac{t}{T_{1}}}) = \frac{1}{131} \cdot 6, 022 \cdot 10^{23} \cdot (1 - 2^{- \frac{1}{8, 02}}) \approx 3, 81 \cdot 10^{20}$ hạt

Vậy máy đo bức xạ ứng với mẫu chất chứa $_{53}^{131} I$ đếm được nhiều tín hiệu hơn.

Xem thêm các dạng bài tập Vật Lí 12 hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học