Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn lớp 9 (hay, chi tiết)
Bài viết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
1. Bảng tóm tắt
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn | Số điểm chung | Hệ thức giữa d và R |
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau Đường thẳng và đường tròn không giao nhau |
2 1 0 |
d < R d = R d > R |
Trong đó, d là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng.
2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
3. Tính chất của tiếp tuyến
Nếu một đường thẳng là một tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
4. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
5. Đường tròn nội tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn.
- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân giác các góc trong của tam giác.
6. Đường tròn bàng tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
- Tâm đường tròn bàng tiếp góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C.
Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB và hai tia Ax, By vuông góc với AB ở trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi O là trung điểm của AB. Xét góc vuông mOn quay quanh O sao cho Om cắt Ax tại C, On cắt By tại D. Chứng minh rằng:
a) CD luôn tiếp xúc với nửa đường tròn (O; AB/2)
Lời giải:
a) Kéo dài DO cắt tia đối của tia Ax tại E. Dễ thấy
ΔBOD = ΔAOE (g.c.g)
⇒ OD = OE
Mà CO ⊥ DE (gt)
⇒ ΔCDE cân tại C
Kẻ OM ⊥ CD ta lại có:
ΔAOC = ΔMOC (cạnh huyền-góc nhọn)
⇒ OA = OM
Điều này chứng tỏ M thuộc đường tròn (O) nên CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) hay CD tiếp xúc với nửa đường tròn (O; AB/2)
b) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AC = CM; DB = DM
⇒ AC. DB = CM. DM
Xét tam giác COD vuông tại O có OM là đường cao nên:
CM.DM = OM2 = AB2/4
Vậy AC.DB = AB2/4
Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy AO làm đường kính vẽ nửa đường tròn tâm O’ cùng phía với (O). Một cát tuyến bất kì qua A cắt (O’) và (O) lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh C là trung điểm của AD và các tiếp tuyến tại C và D với các nửa đường tròn song song với nhau.
b) Hãy xác định điểm C sao cho BC là tiếp tuyến của (O’)
Lời giải:
a) Vì C, D thuộc nửa đường tròn đường kính AO, AB nên
⇒ CO // BD
Mà OA = OB nên OC là đường trung bình của ΔABD
⇒ C là trung điểm của AD
Xét ΔAOD có O’C là đường trung bình
⇒ O’C // OD
⇒ Các tiếp tuyến tại C và D của (O’) và (O) phải song song với nhau ( vì cùng vuông góc với hai đường thẳng song song)
b) Nếu BC là tiếp tuyến của (O’) thì BC ⊥ CO' hay góc O'CB bằng 900
⇒ C thuộc nửa đường tròn đường kính O’B
Vậy C là giao điểm của nửa đường tròn (O’) và nửa đường tròn đường kính O’B
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi (O1; R1 ) là đường tròn nội tiếp ΔABC và (O2; R2 ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh:
Lời giải:
a) Gọi tiếp điểm của (O1; R1 ) với các cạnh AB, BC, CA lần lượt là M, P, N
Dễ thấy tứ giác AMO1N là hình vuông
⇒ AM = AN = R1
BM và BP là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O1; R1 ) nên theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có BM = BP
Tương tự, CN và CP là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O1; R1 ) nên CN = CP
Ta có:
AB + AC = AM + BM + AN + NC
AB + AC = 2R1 + BP + CP
AB + AC = 2R1 + BC = 2R1+ 2R_2
b) Theo câu a, ta có:
Ví dụ 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB; AC là một dây cung của nó. Kẻ tiếp tuyến Ax và kẻ đường phân giác của góc Cax cắt đường tròn tại E và cắt BC kéo dài tại D.
a) Chứng minh rằng ΔABD cân và OE // BD
b) Gọi I là giao điểm của AC và BE. Chứng minh DI ⊥ AB
c) Khi C di chuyển trên đường tròn (O) thì D chạy trên đường nào?
Lời giải:
a) Vì C ∈ (O) nên
Ta có:
Mà
⇒ ΔADB cân tại B.
Chứng minh OE // DB
Vì E ∈ (O) nên góc AEB bằng 900 hay BE ⊥ AD
Do ΔADB cân tại B nên BE vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
⇒ E là trung điểm của AD
Lại có O là trung điểm của AB
Nên OE là đường trung bình của ΔADB
⇒ OE // BD
b) Ta có:
BE ⊥ AD
AC ⊥ BD
AC cắt BE tại I
⇒ I là trực tâm của ΔADB ⇒ DI ⊥ AB
c) Do ΔADB cân tại B nên BD = BA = 2R ⇒ D nằm trên đường tròn tâm B bán kính 2R
Giới hạn: Khi C di chuyển tới B thì D di chuyển tới D1 (BD1 = 2R), D1 ∈ By,By ⊥ AB. Vậy D di chuyển trên cung một phần tư đường tròn ADD1
Ví dụ 5: Chứng minh rằng diện tích của một tam giác bằng nửa chu vi của nó nhân với bán kính đường tròn nội tiếp .
Lời giải:
Ta có: OD ⊥ BC; OE ⊥ AC; OF ⊥ AB
Gọi S là diện tích của tam giác ABC.
S= SAOB + SBOC + SCOA
= 1/2.OF.AB + 1/2.OD.BC + 1/2.OE.AC
= 1/2.r.(AB + BC + CA)
= pr
Với p là nửa chu vi của tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
- Chủ đề: Đường tròn
- Bài tập về đường tròn
- Chủ đề: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
- Bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
- Chủ đề: Vị trí tương đối của hai đường tròn
- Bài tập Vị trí tương đối của hai đường tròn
- Chủ đề: Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán về đường tròn
- Bài tập trắc nghiệm Toán 9 Đường tròn (phần 1 - có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Toán 9 Đường tròn (phần 2 - có đáp án)
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 9
- Soạn Văn 9 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 9
- Đề kiểm tra Ngữ Văn 9 (có đáp án)
- Giải bài tập Toán 9
- Giải sách bài tập Toán 9
- Đề kiểm tra Toán 9
- Đề thi vào 10 môn Toán
- Chuyên đề Toán 9
- Giải bài tập Vật lý 9
- Giải sách bài tập Vật Lí 9
- Giải bài tập Hóa học 9
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Hóa học 9 (có đáp án)
- Giải bài tập Sinh học 9
- Giải Vở bài tập Sinh học 9
- Chuyên đề Sinh học 9
- Giải bài tập Địa Lí 9
- Giải bài tập Địa Lí 9 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập Địa Lí 9
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9 thí điểm
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9 mới
- Giải bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập Lịch sử 9 (ngắn nhất)
- Giải tập bản đồ Lịch sử 9
- Giải Vở bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập GDCD 9
- Giải bài tập GDCD 9 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập GDCD 9
- Giải bài tập Tin học 9
- Giải bài tập Công nghệ 9