Nhận biết hàm số, đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) và vẽ đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Nhận biết hàm số, đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) và vẽ đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nhận biết hàm số, đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) và vẽ đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0).

1. Phương pháp giải

1.1. Nhận biết hàm số và đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0)

– Hàm số y = ax² với hệ số a ≠ 0 có đồ thị là một đường cong (gọi là đường parabol).

– Đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) có các tính chất sau:

⦁ Có đỉnh là gốc tọa độ O;

⦁ Có trục đối xứng là trục tung Oy;

⦁ Nằm phía trên trục hoành nếu a > 0 và nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0.

1.2. Vẽ đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Để vẽ đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Lập bảng ghi một số cặp giá trị tương ứng của x và y.

Bước 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn các cặp điểm (x; y) trong bảng giá trị trên và nối chúng lại để được một đường cong là đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0).

Nhận xét: Khi vẽ đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0), ta cần xác định tối thiểu 5 điểm thuộc đồ thị là gốc tọa độ O và hai cặp điểm đối xứng với nhau qua trục tung Oy.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.

a) Cho các hàm số $y=x^2;y=\frac{4x^2}{9};y=\frac{2}{x^2};y=-\sqrt{3}{x}^2.$ Hàm số nào có dạng y = ax² (a ≠ 0)?

b) Với các hàm số y = ax² (a ≠ 0) đã tìm được ở câu a, hãy xác định xem đồ thị của hàm số nào nằm bên trên trục hoành.

Hướng dẫn giải

a) Các hàm số có dạng y = ax² (a ≠ 0) là:

⦁ y = x² với a = 1;

⦁ $y=\frac{4x^2}{9}$ với $a=\frac{4}{9};$

⦁ $y=-\sqrt{3}{x}^2$ với $a=-\sqrt{3}.$

b) Đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) nằm phía trên trục hoành nếu a > 0.

Như vậy:

⦁ Hàm số y = x² có a = 1 > 0 nên đồ thị của hàm số này nằm bên trên trục hoành.

⦁ Hàm số $y=\frac{4x^2}{9}$ có $a=\frac{4}{9}>0$ nên đồ thị của hàm số này nằm bên trên trục hoành.

Ví dụ 2. Vẽ đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{2}{x}^2.$

Hướng dẫn giải

Lập bảng một số giá trị tương ứng giữa x và y:

Biểu diễn các điểm (–2; –2), $\left(-1;-\frac{1}{2}\right),$ (0; 0), $\left(1;-\frac{1}{2}\right),$ (2; –2) trên mặt phẳng tọa độ Oxy rồi lần lượt nối chúng lại ta được đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ như hình vẽ:

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) có dạng

A. đường thẳng.                

B. đường gấp khúc.

C. đường cong parabol.    

D. đường tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) có dạng đường cong parabol.

Bài 2. Hàm số nào sau đây có dạng y = ax² (a ≠ 0)?     

A. $y=x^2\cdot \frac{-1}{2}.$

B. $y=\frac{x^2}{0}.$

C. $y=\frac{2}{x^2}.$              

D. y = 2²x.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hàm số $y=x^2\cdot \frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}{x}^2$ có dạng y = ax² (a ≠ 0) với $a=-\frac{1}{2}.$

Bài 3. Cho hàm số y = 3x². Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Đồ thị hàm số là parabol có đỉnh O.

B. Đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành.

C. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.

D. Đồ thị hàm số đi qua điểm (–1; 3).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hàm số y = 3x² có a = 3 > 0 nên đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.

Do đó phương án B là khẳng định sai.

Bài 4. Cho các hàm số sau:

(1) y = 2x²;    

(2) y = –5x²;  

(3) $y=\frac{1}{-8}{x}^2;$

(4) $y=\sqrt{m^2+1}\cdot x^2.$

Có bao nhiêu đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành?

A. 1.  

B. 2.

C. 3.  

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) nằm phía trên trục hoành nếu a > 0.

Trong các hàm số đã cho, có hai đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành, đó là đồ thị của các hàm số:

⦁ y = 2x² với a = 2 > 0;

⦁ $y=\sqrt{m^2+1}\cdot x^2$ với $a=\sqrt{m^2+1}>0$ với mọi m ∈ ℝ.

Bài 5. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị nằm phía dưới trục hoành?

A. y = 8x².                        

B. $y=\left(2-\sqrt{5}\right)x^2.$

C. $y=\left(\sqrt{3}-1\right)x^2.$

D. $y=\left(2+\sqrt{3}\right)x^2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) nằm phía trên trục hoành nếu a > 0.

Trong các hàm số đã cho, hàm số $y=\left(2-\sqrt{5}\right)x^2$ có $a=2-\sqrt{5}<0$ (vì 4 < 5 nên $2<\sqrt{5}),$  do đó hàm số này có đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a < 0 < b.   

B. a < b < 0.   

C. 0 < a < b.   

D. b < 0 < a.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì đồ thị hàm số y = ax² nằm phía trên trục hoành nên a > 0.

Vì đồ thị hàm số y = bx² nằm phía dưới trục hoành nên b < 0.

Do đó b < 0 < a. Vậy ta chọn phương án D.

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị của một hàm số có đồ thị như sau:

A. y = x².       

B. y = –x².     

C. y = 2x².     

D. y = –2x².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Từ đồ thị ta thấy:

Đây là đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0).

Vì đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) đi qua điểm (1; –2) nên ta có:

–2 = a.1² suy ra a = –2 (thỏa mãn).

Vậy đồ thị trên là đồ thị của hàm số y = –2x².

Bài 8. Để vẽ được đồ thị hàm số $y=\frac{-1}{4}{x}^2$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta cần xác định các điểm nào sau đây?

A. (–4; –4); (–2; –1); (0; 0); (2; –1); (4; –4).

B. (–4; 4); (–2; –1); (0; 0); (2; –1); (4; 4).

C. (–4; –4); (–2; 1); (0; 0); (2; 1); (4; –4).  

D. (–4; –4); (–2; –1); (0; 0); (2; 1); (4; 4).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta thấy:

• Điểm (–4; –4) thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{-1}{4}{x}^2$  vì $\frac{-1}{4}\cdot {\left(-4\right)}^2=-4.$

• Điểm (–2; –1) thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{-1}{4}{x}^2$  vì $\frac{-1}{4}\cdot {\left(-2\right)}^2=-1.$

• Điểm (0; 0) thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{-1}{4}{x}^2$  vì $\frac{-1}{4}\cdot 0^2=0.$

• Điểm (2; –1) thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{-1}{4}{x}^2$  vì $\frac{-1}{4}\cdot 2^2=-1.$

• Điểm (4; –4) thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{-1}{4}{x}^2$ vì $\frac{-1}{4}\cdot 4^2=-4.$

Vậy để vẽ được đồ thị hàm số $y=\frac{-1}{4}{x}^2$ cần xác định các điểm (–4; –4); (–2; –1); (0; 0); (2; –1); (4; –4).

Bài 9. Cho hàm số y = (–m² + 4m – 5)x². Khi vẽ đồ thị hàm số này trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì phần đồ thị mà các giá trị x > 0 nằm ở góc phần tư thứ mấy?

A. I.

B. II. 

C. III.

D. IV.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số y = (–m² + 4m – 5)x² có:

a = –m² + 4m – 5 = –(m² – 4m + 5) = –(m² – 4m + 4) – 1 = –(m – 2)² – 1.

Với mọi m ∈ ℝ có (m – 2)² ≥ 0 nên –(m – 2)² ≤ 0, suy ra –(m – 2)² – 1 ≤ –1

Do đó a < 0.

Như vậy, đồ thị hàm số y = (–m² + 4m – 5)x² nằm phía dưới trục hoành:

⦁ khi x < 0, đồ thị nằm ở góc phần tư thứ III;

⦁ khi x > 0, đồ thị nằm ở góc phần tư thứ IV.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 10. Khi vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$ và y = 2x – 1 trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, các giao điểm của hai đồ thị này nằm ở góc phần tư thứ mấy?

A. I.

B. II. 

C. III.

D. IV.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

⦁ Vẽ đồ thị hàm số

Lập bảng một số giá trị tương ứng giữa x và y:

Biểu diễn các điểm (–2; 2),$\left(-1;\frac{1}{2}\right),$ (0; 0),$\left(1;\frac{1}{2}\right),$ (2; 2) trên mặt phẳng tọa độ Oxy rồi lần lượt nối chúng lại ta được đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$ (hình vẽ).

⦁ Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 1.

Lập bảng một số giá trị tương ứng giữa x và y:

Biểu diễn các điểm (0; –1),$\left(\frac{1}{2};0\right)$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy rồi nối chúng lại ta được đồ thị của hàm số y = 2x – 1 (hình vẽ).

Từ hai đồ thị đã vẽ ở trên trong cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thấy rằng hai giao điểm A, B của hai đồ thị này cùng nằm ở góc phần tư thứ I.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Xác định hệ số a khi biết đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) đi qua điểm M(x₀; y₀)
• Ứng dụng thực tế của đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0)
• Nhận biết phương trình bậc hai một ẩn và xác định các hệ số của nó
• Giải phương trình bậc hai một ẩn có dạng đặc biệt (khuyết số hạng bậc nhất hoặc khuyết số hạng tự do)
• Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai và bài toán tìm tham số để phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn yêu cầu về số nghiệm

---