Ứng dụng thực tế của đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Ứng dụng thực tế của đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng thực tế của đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0).

1. Phương pháp giải

– Đối với các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học. Các bước làm như sau:

Bước 1. Dựa vào giả thiết và các yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả dưới “dạng ngôn ngữ toán học” cho mô hình mô phỏng thực tiễn. Căn cứ vào các yếu tố bài ra ta chọn biến số, tìm điều kiện tồn tại, đơn vị.

Bước 2. Dựa vào các mối liên hệ ràng buộc giữa biến số với các giả thiết của đề bài cũng như các kiến thức liên quan đến thực tế, ta thiết lập hàm số y = ax² (a ≠ 0). Chuyển yêu cầu đặt ra đối với bài toán thực tiễn thành yêu cầu bài toán hàm số y = ax² (a ≠ 0).

Bước 3. Dùng tính chất hàm số y = ax² (a ≠ 0) để giải quyết bài toán hình thành ở Bước 2. Lưu ý kiểm tra điều kiện, và kết quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa.

– Đối với các bài toán thực tế đã mô hình hóa bằng một hàm số y = ax² (a ≠ 0), ta thực hiện Bước 3 ở trên.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một vật rơi tự do từ độ cao 550 m so với mặt đất. Quãng đường chuyển động s (m) của vật rơi phụ thuộc vào thời gian t (giây) được cho bởi công thức s = 4,9t². Sau 10 giây, vật này cách mặt đất bao nhiêu mét?

Hướng dẫn giải

Sau 10 giây, vật này di chuyển được quãng đường là: S = 4,9.10² = 490 (m).

Vậy sau 10 giây, vật này cách mặt đất là: 550 – 490 = 60 (m).

Ví dụ 2. Một cây cầu treo có trụ tháp đôi cao 80 m so với mặt của cây cầu và cách nhau 500 m. Các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) như hình vẽ và được treo trên các đỉnh tháp. Hãy xác định hàm số đó và tính xem độ cao CH của cáp treo là bao nhiêu khi thanh nối tại điểm H cách tâm O của cây cầu một khoảng bằng 125 m.

Hướng dẫn giải

⦁ Điểm cao nhất của cầu là điểm A(–250; 80) và B(250; 80).

Thay x = 250,  y = 80 vào hàm số y = ax² (a ≠ 0), ta có:

80 = a.250²

80 = a.62500

$a=\frac{4}{3125}=0,00128$ (thỏa mãn).

Như vậy, hàm số cần tìm là: y = 0,00128x².

⦁ Chiều cao của dây cáp là giá trị của hàm số y = 0,00128x² khi x = 125.

Vậy chiều cao CH của dây cáp tại đó là: 0,00128.125² = 20 (m).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Công thức $E=\frac{1}{2}m{v}^2$ (J) được dùng để tính động năng của một vật có khối lượng m (kg) khi chuyển động với vận tốc v (m/s). Giả sử có một quả bóng có khối lượng 1,5 kg đang bay với vận tốc 8 m/s thì động năng của quả bóng đó là

A. 12 J.                          

B. 24 J.                           

C. 48J.                            

D. 96 J.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Động năng của quả bóng được nói đến ở bài toán chính là giá trị của hàm số $E=\frac{1}{2}m{v}^2$ tại m = 1,5 kg và v = 8 m/s.

Vậy động năng của quả bóng đó là: $E=\frac{1}{2}\cdot 1,5\cdot 8^2=48$ (J).

Bài 2. Một vật rơi tự do ở độ cao so với mặt đất 400 (m). Quãng đường chuyển động s (m) của vật rơi tự do phụ thuộc vào thời gian t (giây) theo công thức s = 4t². Sau khi vật rơi được 3 giây thì vật cách mặt đất bao nhiêu mét?

A. 24 m.

B. 36 m.                         

C. 364 m.                       

D. 376 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Sau khi rơi được 3 giây thì quãng đường chuyển động của vật là: s  = 4.3² = 36 (m).

Vậy lúc đó, vật còn cách mặt đất là: 400 – 36 = 364 (m).

Bài 3. Một vật rơi tự do ở độ cao so với mặt đất 400 (m). Quãng đường chuyển động s (m) của vật rơi tự do phụ thuộc vào thời gian t (giây) theo công thức s = 4t². Thời gian để vật chuyển động được quãng đường 100 m là

A. 3,5 giây.                    

B. 4 giây.                       

C. 5 giây.                       

D. 6 giây.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thay s = 100 vào s = 4t², ta được:

100 = 4.t²

t² = 25

Suy ra t = 5 (do t > 0).

Vậy thời gian để vật chuyển động hết quãng đường 100 m là 5 giây.

Bài 4. Một vật rơi tự do ở độ cao so với mặt đất 400 (m). Quãng đường chuyển động s (m) của vật rơi tự do phụ thuộc vào thời gian t (giây) theo công thức s = 4t². Mất bao lâu để vật chạm đất?

A. 5 giây.                       

B. 7 giây.                       

C. 9 giây.                       

D. 10 giây.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vật chạm đất khi quãng đường chuyển động là 400 m.

Thay s = 400 vào s = 4t², ta được:

400 = 4.t²

t² = 100

Suy ra t = 10 (do t > 0).

Vậy mất 10 giây để vật chạm đất khi rơi tự do từ độ cao 400 m.

Bài 5. Một khách du lịch chơi trò Bungee từ tháp Macao với độ cao 234 mét so với mặt đất. Quãng đường chuyển động S (đơn vị tính bằng mét) của người rơi phụ thuộc vào thời gian t (đơn vị tính bằng giây) được cho bởi công thức: $S=\frac{13}{2}{t}^2.$ Sau khoảng thời gian bao lâu thì du khách cách mặt đất 71,5 mét?

A. 3,3 giây.                    

B. 4,5 giây.                    

C. 5 giây.                       

D. 6 giây.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Khi du khách cách mặt đất 71,5 mét thì người đó đã rơi được quãng đường là:

S = 234 – 71,5 = 162,5 (m).

Thay S = 162,5 vào $S=\frac{13}{2}{t}^2,$ ta được:

$162,5=\frac{13}{2}{t}^2,$ suy ra t² = 25 nên t = 5 (do t > 0).

Vậy sau 5 giây thì du khách cách mặt đất 71,5 mét.

Bài 6. Lực F (N) của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ v (m/s) của gió theo công thức F = av² (a là một hằng số). Biết rằng khi tốc độ gió là 2 m/s thì lực tác động lên cánh buồm của con thuyền bằng 120 N. Hàm số biểu thị lực tác động lên cánh buồm của con thuyền là

A. F = 20v².                   

B. F = 30v².                   

C. 40v².                          

D. 50v².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thay v = 2 và F = 120 vào công thức F = av², ta được:

120 = a.2²

120 = a.4

a = 30.

Vậy hàm số biểu thị lực tác động lên cánh buồm của con thuyền là F = 30v².

Bài 7. Lực F (N) của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ v (m/s) của gió theo công thức F = av² (a là một hằng số). Biết rằng khi tốc độ gió là 2 m/s thì lực tác động lên cánh buồm của con thuyền bằng 120 N. Khi tốc độ của gió là 10 m/s thì lực tác động lên cánh buồm của con thuyền là

A. 400 N.                       

B. 600 N.                       

C. 2000 N.                     

D. 3000 N.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thay v = 2 và F = 120 vào công thức F = av², ta được:

120 = a.2²

120 = a.4

a = 30.

Do đó, hàm số biểu thị lực tác động lên cánh buồm của con thuyền là F = 30v².

Thay v = 10 vào hàm số F = 30v², ta được:

F = 30.10² = 3 000 (N).

Vậy tốc độ của gió là 10 m/s thì lực tác động lên cánh buồm của con thuyền là 3 000 N.

Bài 8. Lực F (N) của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ v (m/s) của gió theo công thức F = av² (a là một hằng số). Biết rằng khi tốc độ gió là 2 m/s thì lực tác động lên cánh buồm của con thuyền bằng 120 N. Cánh buồm của con thuyền chỉ chịu được lực tác động tối đa là 12 000 N. Khi đó, con thuyền có thể ra khơi khi tốc độ gió không vượt quá

A. 60 km/h.                    

B. 70 km/h.                    

C. 72 km/h.                    

D. 75 km/h.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thay v = 2 và F = 120 vào công thức F = av², ta được:

120 = a.2²

120 = a.4

a = 30.

Do đó, hàm số biểu thị lực tác động lên cánh buồm của con thuyền là F = 30v².

Theo bài, cánh buồm của con thuyền chỉ chịu được lực tác động tối đa là 12 000 N nên ta có bất phương trình: F ≤ 12 000 hay 30v² ≤ 12 000.

Giải bất phương trình:

30v² ≤ 12 000

v² ≤ 400

v² – 400 ≤ 0

(v + 20)(v – 20) ≤ 0

v – 20 ≤ 0 (do v + 20 > 0).

0 < v ≤ 20.

Như vậy, con thuyền có thể ra khơi khi tốc độ gió không vượt quá 20 m/s = 72 km/h.

Bài 9. Một xe đẩy xếp các thùng hàng thành một khối hàng hình hộp chữ nhật có chiều rộng là 2,4 m muốn đi qua một cái cổng hình parabol (đồ thị của hàm số (P): y = ax² (a ≠ 0)). Biết khoảng cách giữa hai cổng là 4 m, khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là $2\sqrt{5}$ m (bỏ qua độ dày của cổng). Hỏi chiều cao của khối hàng không vượt quá bao nhiêu mét để có thể đi qua cổng (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)?

A. 2,4 m.                

B. 2,5 m.                

C. 2,6 m.                

D. 2,7 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta mô hình hóa bài toán trên như hình vẽ sau:

Trong đó OH = 4 m, OB = $2\sqrt{5}$  m và MN = PQ = 2,4 m.

Khi đó, $PH=\frac{1}{2}PQ=1,2\text{ (m).}$

⦁ Xét ∆OHB vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

OB² = OH² + HB²

Suy ra HB² = OB² – OH² = ${\left(2\sqrt{5}\right)}^2$  – 4² = 4.

Do HB = 2 (m).

Như vậy, ta có điểm B(2; –4) thuộc parabol (P): y = ax² (a ≠ 0).

Thay x = 2, y = –4 vào hàm số y = ax², ta được:

–4 = a.2²

–4 = a.4

a = –1 (thỏa mãn a ≠ 0).

Do đó, hàm số (P): y = –x².

⦁ Giả sử khối hàng MNPQ khi đi qua cổng thì vừa chạm vào cổng.

Khi đó, giả sử điểm N(1,2; y₀) thuộc (P).

Thay x = 1,2 và y = y₀ vào hàm số y = –x², ta được:

y₀ = –(1,2)² = –1,44.

Do đó, NP = 4 – 1,44 = 2,56 (m).

Vậy chiều cao của khối hàng không vượt quá 2,5 mét để có thể đi qua cổng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất và nếu khối hàng cao 2,6 m thì không đi qua cổng được).

Bài 10. Các ăng ten parabol thu sóng hoạt động dựa theo nguyên lí: mọi tia sóng song song với trục của parabol đều có tia phản xạ đi qua tiêu điểm F của parabol (vì vậy nếu ta đặt thiết bị thu sóng tại F thì sẽ thu sóng được tốt nhất). Người ta chứng minh được rằng: Nếu đường thẳng vuông góc với trục của parabol tại F cắt parabol tại 2 điểm A, B thì $OF=\frac{1}{4}AB$ với O là đỉnh của parabol (tham khảo hình vẽ).

Độ dài đoạn OF ứng với mô hình trên của một ăng ten parabol (ngang 90 cm và cao 9 cm) là bao nhiêu?

A. 14 m.                         

B. 28,125 m.                  

C. 56,25 m.                    

D. 112,5 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Do (P): y = ax² (a ≠ 0) đi qua điểm N(45; 9) nên ta có:

Do đó 9 = a.45² hay 2025a = 9, suy ra $a=\frac{1}{225}$ (thỏa mãn).

Khi đó, ta có hàm số $y=\frac{1}{225}{x}^2.$

Đường thẳng vuông góc Oy tại F cắt (P) tại A, B với x_B > 0.

Ta có $y_B=OF=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{2}FB=\frac{1}{2}{x}_B.$ Khi đó, $B\left(x_B;\frac{1}{2}{x}_B\right).$

Lại có $B\left(x_B;\frac{1}{2}{x}_B\right)$ thuộc (P) nên $\frac{1}{2}{x}_B=\frac{1}{225}{x}_B^2.$

Giải phương trình:

$\frac{1}{2}{x}_B=\frac{1}{225}{x}_B^2$

$\frac{1}{225}{x}_B^2-\frac{1}{2}{x}_B=0$

$x_B\left(\frac{1}{225}{x}_B-\frac{1}{2}\right)=0$

x_B = 0 hoặc $\frac{1}{225}{x}_B-\frac{1}{2}=0$

x_B = 0 (loại) hoặc $x_B=\frac{225}{2}$  (thỏa mãn).

Vậy $OF=\frac{1}{2}{x}_B=\frac{225}{4}=56,25\text{ (cm).}$

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Nhận biết phương trình bậc hai một ẩn và xác định các hệ số của nó
• Giải phương trình bậc hai một ẩn có dạng đặc biệt (khuyết số hạng bậc nhất hoặc khuyết số hạng tự do)
• Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai và bài toán tìm tham số để phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn yêu cầu về số nghiệm
• Dùng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
• Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) với đồ thị hàm số bậc nhất y = bx + c

---