Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai và bài toán tìm tham số để phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn yêu cầu về số nghiệm lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai và bài toán tìm tham số để phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn yêu cầu về số nghiệm lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai và bài toán tìm tham số để phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn yêu cầu về số nghiệm.

1. Phương pháp giải

1.1. Bài toán xác định số nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn mà không giải phương trình

Để xác định số nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) mà không cần giải phương trình, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Tính biệt thức ∆ = b² – 4ac.

Bước 2. Xét dấu của ∆.

        ⦁ Nếu ∆ > 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

        ⦁ Nếu ∆ = 0 thì phương trình đã cho có nghiệm kép (có 1 giá trị nghiệm).

        ⦁ Nếu ∆ < 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm (không có nghiệm).

? Chú ý: Ta cũng có thể dùng biệt thức ∆' = b'² – ac với b = 2b' và xét dấu của ∆' tương tự như ∆.

1.2. Bài toán tìm tham số để phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn yêu cầu về số nghiệm

Xét phương trình ax2 + bx + c = 0 chứa tham số. + Nếu a = 0, phương trình trở thành: bx + c = 0.     ⦁ b = 0, c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.     ⦁ b = 0, c ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.     ⦁ b ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=-\frac{c}{b}.$ + Nếu a ≠ 0, phương trình là phương trình bậc hai một ẩn.     ⦁ Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 (hoặc ∆' > 0).     ⦁ Phương trình có nghiệm kép (1 giá trị nghiệm) khi ∆ = 0 (hoặc ∆' = 0).     ⦁ Phương trình vô nghiệm khi ∆ < 0 (hoặc ∆' < 0).

Như vậy, để giải quyết bài toán tìm tham số để phương trình ax² + bx + c = 0 chứa tham số thỏa mãn yêu cầu về số nghiệm, ta có thể làm như sau:

+ Để phương trình vô nghiệm thì:

        ⦁ Trường hợp 1. a = 0, b = 0, c ≠ 0.

        ⦁ Trường hợp 2. a ≠ 0 và ∆ < 0 (hoặc ∆' < 0).

+ Để phương trình có 1 nghiệm thì:

        ⦁ Trường hợp 1. a = 0 và b ≠ 0.

        ⦁ Trường hợp 2. a ≠ 0 và ∆ = 0 (hoặc ∆' = 0).

+ Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì a ≠ 0 và ∆ > 0 (hoặc ∆' > 0).

+ Để phương trình có vô số nghiệm thì a = 0, b = 0, c = 0.

? Chú ý: Để phương trình có nghiệm tức là có 1 nghiệm, 2 nghiệm hoặc vô số nghiệm.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Không cần giải phương trình, hãy tính biệt thức ∆ (hoặc ∆') và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) x² – 5x + 4 = 0.

b) –2x² – 3x – 4 = 0.

c) –4x² + 4x – 1 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình x² – 5x + 4 = 0 có các hệ số a = 1, b = –5, c = 4.

Ta có ∆ = (–5)² – 4.1.4 = 9 > 0, nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình –2x² – 3x – 4 = 0 có các hệ số a = –2, b = –3, c = –4.

Ta có ∆ = (–3)² – 4.(–2).(–4) = –23 < 0, nên phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Phương trình –4x² + 4x – 1 = 0 có các hệ số a = –4, b' = 2, c = –1.

Ta có ∆' = 2² – (–4).(–1) = 0, nên phương trình đã cho có nghiệm kép.

Ví dụ 2. Cho phương trình mx² + (2m – 5)x + m – 2 = 0 với m ∈ ℝ là tham số.

a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.

b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình: mx² + (2m – 5)x + m – 2 = 0. (1)

Phương trình trên có a = m, b = 2m – 5 và c = m – 2.

a) Để đã cho có nghiệm thì ta xét hai trường hợp sau:

⦁ Trường hợp 1. Với m = 0 phương trình (1) trở thành:

 –5x – 2 = 0

$x=-\frac{2}{5}$

Do đó, với m = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=-\frac{2}{5}$ tức là có nghiệm, thỏa yêu cầu bài toán.

⦁ Trường hợp 1. Với m ≠ 0, phương trình (1) là một phương trình bậc hai và có:

∆ = (2m – 5)² – 4.m.(m – 2) = 4m² – 20m + 25 – 4m² + 8m = 25 – 12m.

Để phương trình (1) có nghiệm thì ∆ ≥ 0, tức là 25 – 12m ≥ 0, suy ra $m\le \frac{25}{12}.$

Kết hợp hai trường hợp, suy ra phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi $m\le \frac{25}{12}.$

b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (1) phải là phương trình bậc hai một ẩn có ∆ > 0

Tức là, m ≠ 0 và ∆ > 0

Suy ra m ≠ 0 và 25 – 12m > 0

Do đó m ≠ 0 và $m<\frac{25}{12}.$

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m ≠ 0 và $m<\frac{25}{12}.$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Phương trình nào sau đây có hai nghiệm phân biệt?

A. x² – x + 5 = 0.

B. x² – 6x + 25 = 0.

C. –x² – 6x – 9 = 0.

D. x² – 9x – 11 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình x² – x + 5 = 0 có ∆ = (–1)² – 4.1.5 = –19 < 0 nên phương trình này vô nghiệm.

Phương trình x² – 6x + 25 = 0 có ∆' = (–3)² – 1.25 = –16 < 0 nên phương trình này vô nghiệm.

Phương trình –x² – 6x – 9 = 0 có ∆' = (–3)² – (–1).(–9) = 0 nên phương trình này có nghiệm kép.

Phương trình x² – 9x – 11 = 0 có ∆ = (–9)² – 4.1.(–11) = 125 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 2. Phương trình nào sau đây có nghiệm kép?

A. –x² – 4x + 4 = 0.

B. x² – 4x – 4 = 0.

C. –x² + 4x – 4 = 0.

D. –x² + 4x + 4 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình –x² – 4x + 4 = 0 có ∆' = (–2)² – (–1).4 = 8 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình x² – 4x – 4 = 0 có ∆' = (–2)² – 1.(–4) = 8 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình –x² + 4x – 4 = 0 có ∆' = 2² – (–1).(–4) = 0 nên phương trình này có nghiệm kép.

Phương trình –x² + 4x + 4 = 0 có ∆' = 2² – (–1).4 = 8 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 3. Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. x² – 5x + 4 = 0.

B. 3x² – 6x + 3 = 0.

C. 3x² – 12x + 4 = 0.

D. –3x² + 8x – 9 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

⦁ Phương trình x² – 5x + 4 = 0 có các hệ số a = 1, b = –5, c = 4.

Ta có ∆ = (–5)² – 4.1.4 = 9 > 0, nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

⦁ Phương trình 3x² – 6x + 3 = 0 có các hệ số a = 3, b' = –3, c = 3.

Ta có ∆' = (–3)² – 3.3 = 0, nên phương trình đã cho có nghiệm kép.

⦁ Phương trình 3x² – 12x + 4 = 0 có các hệ số a = 3, b' = –6, c = 4.

Ta có ∆' = (–6)² – 3.4 = 24 > 0, nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

⦁ Phương trình –3x² + 8x – 9 = 0 có các hệ số a = –3, b' = 4, c = –9.

Ta có ∆' = 4² – (–3).(–9) = –11 < 0, nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 4. Cho phương trình 5x² – x – 1 = x² – 4. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Phương trình đưa được về dạng phương trình bậc hai một ẩn.

B. Phương trình vô nghiệm.

C. Phương trình có ∆ = –13.

D. Phương trình đưa về dạng ax² + bx + c = 0 với a = 4, b = –1, c = 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình:

5x² – x – 1 = x² – 4

5x² – x – 1 – x² + 4 = 0

4x² – x + 3 = 0.

Như vậy, phương trình đã cho đưa được về dạng phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) với a = 4, b = –1, c = 3.

Khi đó, ta có ∆ = (–1)² – 4.4.3 = –47 < 0, nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương án C là khẳng định sai, ta chọn phương án C.

Bài 5. Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 1 giá trị nghiệm khi

A. ∆ > 0.

B. ∆' = 0.

C. ∆' < 0.

D. ∆ ≤ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 1 giá trị nghiệm khi ∆ = 0 hoặc ∆' = 0.

Bài 6. Cho phương trình x² – (2m + 1)x + m = 0 với m là tham số. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m.

B. Phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

C. Phương trình có nghiệm kép khi $m=\frac{1}{2}.$

D. Phương trình vô nghiệm khi $m<\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình x² – (2m + 1)x + m = 0 là phương trình bậc hai một ẩn, có:

∆ = [–(2m + 1)]² – 4.1.m = 4m² + 4m + 1 – 4m = 4m² + 1.

Với mọi m ta luôn có m² ≥ 0 nên 4m² + 1 ≥ 1 > 0, hay ∆ > 0.

Do đó, với mọi m thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt, tức là luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 7. Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình (m – 1)x² + 3mx + 2m + 1 = 0 có nghiệm?

A. 0.

B. 1.

C. 3.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình: (m – 1)x² + 3mx + 2m + 1 = 0. (1)

⦁ Nếu m = 1 thì phương trình (1) trở thành:

3x + 3 = 0, suy ra x = –1.

Như vậy, với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = –1. Trường hợp này thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Nếu m ≠ 1 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai một ẩn, có:

∆ = (3m)² – 4.(m – 1)(2m + 1) = 9m² – (8m² – 4m – 4) = m² + 4m + 4 = (m + 2)².

Với mọi m, ta luôn có (m + 2)² ≥ 0, hay ∆ ≥ 0.

Như vậy, với m ≠ 1, phương trình luôn có nghiệm.

Kết hợp hai trường hợp, ta có với mọi m thì phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 8. Cho phương trình (m – 1)x² – 2(m – 4)x + m – 3 = 0 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của m là số nguyên tố có một chữ số để phương trình đã cho vô nghiệm?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình: (m – 1)x² – 2(m – 4)x + m – 3 = 0 (1)

⦁ Nếu m = 1 thì phương trình (1) trở thành:

6x – 2 = 0, suy ra $x=\frac{1}{3}.$

Như vậy, với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{3}.$ Trường hợp này không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Nếu m ≠ 1 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai một ẩn, có:

∆' = [–(m – 4)]² – (m – 1)(m – 3) = m² – 8m + 16 – (m² – 4m + 3) = 13 – 4m.

Trong trường hợp này, để phương trình (1) vô nghiệm thì ∆' < 0, tức là 13 – 4m < 0, suy ra $m>\frac{13}{4}.$

Kết hợp với điều kiện m ≠ 1, ta được $m>\frac{13}{4}.$

Mà m là số nguyên tố có một chữ số nên m ∈ {5; 7}.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2mx² – 4(m – 1)x + 1 = 0 có một giá trị nghiệm?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình: 2mx² – 4(m – 1)x + 1 = 0. (1)

⦁ Nếu m = 0 thì phương trình (1) trở thành:

4x + 1 = 0, suy ra $x=-\frac{1}{4}.$

Như vậy, với m = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=-\frac{1}{4}.$ Trường hợp này thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Nếu m ≠ 0 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai một ẩn, có:

∆' = [–2(m – 1)]² – 2m.1 = 4m² – 8m + 4 – 2m = 4m² – 10m + 4.

Trong trường hợp này, để phương trình (1) có một giá trị nghiệm thì ∆' = 0, tức là 4m² – 10m + 4 = 0 hay 2m² – 5m + 2 = 0.

Giải phương trình:

2m² – 5m + 2 = 0

2m² – 4m – m + 2 = 0

2m(m – 2) – (m – 2) = 0

(m – 2)(2m – 1) = 0

m – 2 = 0 hoặc 2m – 1 = 0

m = 2 (thỏa mãn m ≠ 0) hoặc $m=\frac{1}{2}$ (thỏa mãn m ≠ 0).

Kết hợp 2 trường hợp, ta có $m\in \left\{0;2;\frac{1}{2}\right\}.$

Mà m là số nguyên nên m ∈ {0; 2}.

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta chọn phương án C.

Bài 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình (x² – 3x + m)(x – 1) = 0 có ba nghiệm phân biệt?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình:

(x² – 3x + m)(x – 1) = 0 (1)

x² – 3x + m = 0 hoặc x – 1 = 0

x² – 3x + m = 0 (2) hoặc x = 1.

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức là phương trình (2) có ∆ > 0 và x = 1 không phải là nghiệm của phương trình (2).

⦁ Phương trình (2) có: ∆ = (–3)² – 4.1.m = 9 – 4m.

Để ∆ > 0 thì 9 – 4m > 0, tức là $m<\frac{9}{4}.$

⦁ Để x = 1 không phải là nghiệm của phương trình (2) thì:

1² – 3.1 + m ≠ 0, tức là m ≠ 2.

Kết hợp hai điều kiện trên, ta được: $m<\frac{9}{4}$ và m ≠ 2.

Mà m là số nguyên dương nên m = 1.

Vậy chỉ có 1 giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta chọn phương án B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Dùng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
• Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) với đồ thị hàm số bậc nhất y = bx + c
• Ứng dụng công thức nghiệm trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của đồ thị hàm số chứa tham số
• Tính tổng, tích và giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x₁, x₂ của phương trình bậc hai một ẩn mà không giải phương trình
• Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai dựa vào định lí Viète

---