Dạng toán Liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương

---

---

Với Dạng toán Liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương môn Toán lớp 9 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết phương pháp làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 9.

I. Lý thuyết

1. Khai phương một tích

Ta có: √AB = √A√B với A ≥ 0; B ≥ 0  

Tổng quát: với A₁ ≥ 0; A₂ ≥ 0;.....;A_n ≥ 0  

2. Khai phương một thương.  

 với A ≥ 0; B > 0

II. Dạng bài tập

Dạng 1: Thực hiệp phép tính

Phương pháp giải: Áp dụng các công thức khai phương một tích và khai phương một thương

Ví dụ: Thực hiện phép tính.

Lời giải:

 

 

= 12 - 12 = 0  

 

Dạng 2: Rút gọn biểu thức 

Phương pháp giải: Áp dụng công thức khai căn một tích, khai căn một thương, hằng đẳng thức của căn

Chú ý khi làm cần xét đến điều kiện của căn.

Ví dụ:

Lời giải:

 

Dạng 3: Giải phương trình

Phương pháp giải:

Sử dụng các phép liên hệ giữa khai căn với phép nhân và phép chia.

Cần chú ý điều kiện của căn thức. Cụ thể là:

                               

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

Lời giải:

 

Vậy nghiệm của phương trình S =  

b)  

Điều kiện xác định:  

 

 

 => y - 3 = 5²

⇔ y - 3 = 25

⇔ y = 25 + 3

⇔ y = 28(tm) 

Vậy nghiệm của phương trình là S =  

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Thực hiện phép tính

 

Bài 2: Thực hiện phép tính

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau

a) P =  

với a ≥ 0;b ≥ 0; a ≠ b

b) Q =  

với a ≥ 0;b ≥ 0; 

c) M =  

với x ≠ -√5 

Bài 4: Giải phương trình

IV. Ví dụ minh họa

Bài 1. Tính

a) $\sqrt{2.80}$

b) $\sqrt{\frac{25}{144}}$

c) $\sqrt{5}.\sqrt{45}$

d) $\sqrt{2\frac{14}{25}}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{2.80}=\sqrt{160}=\sqrt{16.10}=\sqrt{10}.\sqrt{4^2}=4.\sqrt{10}$

b) $\sqrt{\frac{25}{144}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{144}}=\frac{\sqrt{5^2}}{\sqrt{{12}^2}}=\frac{5}{12}$

c) $\sqrt{5}.\sqrt{45}=\sqrt{5}.\sqrt{9.5}=\sqrt{5}.\sqrt{5}.\sqrt{9}=(\sqrt{5}.\sqrt{5}).3=5.3=15$

d) $\sqrt{2\frac{14}{25}}=\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{8^2}}{\sqrt{5^2}}=\frac{8}{5}$

Bài 2. Thực hiện phép tính

a) $(\sqrt{45 }-\sqrt{20}+\sqrt{5}):\sqrt{6}$

b) $(2\sqrt{6}-4\sqrt{3}+5\sqrt{2}-\frac{1}{4}\sqrt{8}).3\sqrt{6}$

c) $(\sqrt{6}+2)(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

d) $(\frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{3}{2}}+\frac{2}{7}\sqrt{\frac{1}{6}}):\left(\frac{2}{7}\sqrt{\frac{1}{8}}\right)$

Hướng dẫn giải

a) $(\sqrt{45 }-\sqrt{20}+\sqrt{5}):\sqrt{6}$

$=(\sqrt{9}\sqrt{5}-\sqrt{4}\sqrt{5}+\sqrt{1}\sqrt{5}):\sqrt{6}$

$=(3\sqrt{5}-2\sqrt{5}+1\sqrt{5}):\sqrt{6}$

$=2\sqrt{5}:\sqrt{6}$

$=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sqrt{5}}{\sqrt{2}.\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$

b) $(2\sqrt{6}-4\sqrt{3}+5\sqrt{2}-\frac{1}{4}\sqrt{8}).3\sqrt{6}$

$=\left[\right(2\sqrt{2}\sqrt{3}-4\sqrt{3})+(5\sqrt{2}-\frac{1}{4}2\sqrt{2}\left)\right].3\sqrt{6}$

$=\left[\right(-4+2\sqrt{2})\sqrt{3}+\frac{9}{2}\sqrt{2}].3\sqrt{6}$

$=(-4+2\sqrt{2})\sqrt{3}.3\sqrt{6}+\frac{9}{2}\sqrt{2}.3\sqrt{6}$

$=-36\sqrt{2}+36+27\sqrt{3}$

c) $(\sqrt{6}+2)(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

$=\sqrt{6}.\sqrt{3}-\sqrt{6}.\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$

$=3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$

$=(3\sqrt{2}-2\sqrt{2})(-2\sqrt{3}+2\sqrt{3})$

$=\sqrt{2}$

d) $(\frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{3}{2}}+\frac{2}{7}\sqrt{\frac{1}{6}}):\left(\frac{2}{7}\sqrt{\frac{1}{8}}\right)$

$=(\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}-\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{2}{7}.\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6}}):(\frac{2}{7}.\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}})$

$=(\frac{1}{3\sqrt{2}}-\frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{7\sqrt{3}}):\frac{1}{7\sqrt{2}}$

$=(\frac{1}{3\sqrt{2}}.\frac{7\sqrt{2}}{1})-(\frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}.\frac{7\sqrt{2}}{1})+(\frac{\sqrt{2}}{7\sqrt{3}}.\frac{7\sqrt{2}}{1})$

$=\frac{7}{3}-\frac{14\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{7-12\sqrt{3}}{3}$

Bài 3. Rút gọn biểu thức: $\sqrt{\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}}$ với x ≥ 0.

Hướng dẫn giải

Vì x ≥ 0 nên $x={\left(\sqrt{x}\right)}^2.$

Ta có:

$\sqrt{\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}}$ = $\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-2\sqrt{x}+1}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2+2\sqrt{x}+1}}$ = $\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}}$ = $\frac{\sqrt{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}}{\sqrt{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}}$ = $\frac{\left|\sqrt{x}-1\right|}{\left|\sqrt{x}+1\right|}$ = $\frac{\left|\sqrt{x}-1\right|}{\sqrt{x}+1}$

– Nếu $\sqrt{x}-1\ge 0\iff x\ge 1$ thì $\left|\sqrt{x}-1\right|=\sqrt{x}-1.$

Ta có: $\frac{\left|\sqrt{x}-1\right|}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$ (với x ≥ 1)

– Nếu $\sqrt{x}-1<0\iff x<1$ thì $\left|\sqrt{x}-1\right|=1-\sqrt{x}$

Ta có: $\frac{\left|\sqrt{x}-1\right|}{\sqrt{x}+1}=\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$ (với 0 ≤ x ≤ 1)

Bài 4. Cho biểu thức $\frac{2}{x^2-y^2}\sqrt{\frac{3x^2+6xy+3y^2}{4}}$ (với x + y > 0)

a) Rút gọn biểu thức;

b) Tính giá trị biểu thức tại x = 1 và y = 2.

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức:

Với x + y > 0

Ta có:

$\frac{2}{x^2-y^2}\sqrt{\frac{3x^2+6xy+3y^2}{4}}$

$=\frac{2}{x^2-y^2}\sqrt{3.\left(\frac{x^2+2xy+y^2}{4}\right)}$

$=\frac{2}{x^2-y^2}.\sqrt{3}.\sqrt{\frac{x^2+2xy+y^2}{4}}$

$=\frac{2}{x^2-y^2}.\sqrt{3}.\sqrt{\frac{{(x+y)}^2}{2^2}}$

$=\frac{2}{(x-y)(x+y)}.\frac{(x+y)}{2}.\sqrt{3}$

$=\frac{\sqrt{3}}{x-y}$

Vậy biểu thức rút gọn là $\frac{\sqrt{3}}{x-y}$

b) Tính giá trị biểu thức tại x = 1 và y = 2.

Thay x = 1 và y = 2 vào biểu thức vừa rút gọn

$\frac{\sqrt{3}}{1-2}=\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}$

Vậy giá trị của biểu thức tại x = 1 và y = 2 là $-\sqrt{3}$

Bài 5. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x^2-10x+25}=7$

b) $\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{2x+1}}=2$

c) $\frac{10x-7}{\sqrt{3x+5}}=\sqrt{3x+5}$

d) $\sqrt{4x^2-9}=2\sqrt{2x-3}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{x^2-10x+25}=7$

$\iff \sqrt{{(x-5)}^2}=7$

$\iff \left|x-5\right|=7$

$\iff [\begin{array}{c}x-5=7\\ x-5=-7\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=12\\ x=-2\end{array}$

Vậy S ={– 2; 12}

b) $\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{2x+1}}=2$

Điều kiện xác định: $\left\{\begin{array}{l}x-3\ge 0\\ 2x+1>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 3\\ x>-\frac{1}{2}\end{array}\Rightarrow \right.\right.x\ge 3$

$\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{2x+1}}=2$

$\iff \sqrt{x-3}=2\sqrt{2x+1}$

$\iff \sqrt{x-3}=\sqrt{8x+4}$

$\iff x-3=8x+4$

$\iff -7x=7\iff x=-1$ (không thỏa mãn)

Vậy phương trình vô nghiệm

c) $\frac{10x-7}{\sqrt{3x+5}}=\sqrt{3x+5}$

Điều kiện xác định: $\left\{\begin{array}{l}3x+5\ge 0\\ 3x+5>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge -\frac{5}{3}\\ x>-\frac{5}{3}\end{array}\Rightarrow \right.\right.x>-\frac{5}{3}$

$\frac{10x-7}{\sqrt{3x+5}}=\sqrt{3x+5}$

$\iff 10x-7=\sqrt{3x+5}.\sqrt{3x+5}$

$\iff 10x-7=\sqrt{{(3x+5)}^2}$

$\iff 10x-7=3x+5$

$\iff 7x=12\iff x=\frac{12}{7}$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm S = {$\frac{12}{7}$}

d) $\sqrt{4x^2-9}=2\sqrt{2x-3}$

Điều kiện xác định:

$\sqrt{4x^2-9}=2\sqrt{2x-3}$

$\iff \sqrt{4x^2-9}=\sqrt{4(2x-3)}$

$\iff \sqrt{4x^2-9}=\sqrt{8x-12}$

$\iff 4x^2-9=8x-12$

$\iff 4x^2-8x+3=0$

$\iff 4x^2-2x-6x+3=0$

$\iff (2x-1)(2x-3)=0$

$\iff [\begin{array}{c}2x-1=0\\ 2x-3=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\\ x=\frac{3}{2}\end{array}$

Kết hợp với điều kiện x = $\frac{3}{2}$

Vậy phương trình có nghiệm S = {$\frac{3}{2}$}

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, hay khác:

• Bài Toán về biến đổi đơn giản biểu thức căn bậc 2
• Căn bậc ba
• Sử dụng biểu thức nhân liên hợp để giải toán chứa căn bậc hai, căn bậc ba
• Giải phương trình chứa dấu căn cực hay
• Các dạng toán về căn bậc hai lớp 9

---

---

---