15 Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai lớp 9 (có đáp án)

Với 15 Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai lớp 9 có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.

1. Phương pháp giải 

Bước 1: Vận dụng thích hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết làm xuất hiện căn thức cùng loại;

+ Đưa thừa số A² ra ngoài dấu căn: $\sqrt{A^{2}B}=\left|A\right|\sqrt{B}$ với B ≥ 0;

+ Đưa thừa số vào tròn dấu căn: ;

+ Khử căn ở mẫu: $\sqrt{\frac{A}{B}}=\sqrt{\frac{A.B}{B^2}}=\frac{1}{\left|B\right|}\sqrt{A.B}$ với B ≠ 0, AB ≥ 0;

+ Trục căn thức ở mẫu: $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A.\sqrt{B}}{B}$; $\frac{m}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{m\left(\sqrt{A}\pm \sqrt{B}\right)}{A-B}$.

Bước 2: Cộng, trừ, các căc thức bậc hai cùng loại.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{32}+\sqrt{50}-2\sqrt{8}+\sqrt{18}$;

b) $\sqrt{{\left(1-2\sqrt{3}\right)}^2}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}$.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2. Cho biểu thức P = $\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\right)$.

a) Rút gọn P;

b) Tính giá trị của P khi x = $\frac{2}{2+\sqrt{3}}$;

c) Tìm x thỏa mãn $P\sqrt{x}=6\sqrt{x}-3-\sqrt{x-4}$.

Hướng dẫn giải:

a) Rút gọn biểu thức

b) Ta có: x = $\frac{2}{2+\sqrt{3}}$ = $\frac{2\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$ = $4-2\sqrt{3}$

Thay x = $4-2\sqrt{3}$ vào biểu thức P, ta được:

P = .

Giá trị của P khi x = $\frac{2}{2+\sqrt{3}}$ là $\frac{3}{\sqrt{3}-1}$.

3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Giá trị của biểu thức là?

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A.

Câu 2: Giá trị của biểu thức

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 3: Rút gọn biểu thức với a > 0 ta được

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án D.

Câu 4: Giá trị của biểu thức

A. 4

B. 5

C. 2

D. 3

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án D.

Câu 5: Rút gọn biểu thức với a > 0 ta được

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A.

Câu 6: Rút gọn biểu thức :

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Câu 7: Rút gọn biểu thức

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:

Chọn đáp án D.

Câu 8: Rút gọn biểu thức: (với a ≥ 0;a ≠ 1)

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Câu 9: Rút gọn biểu thức: với x ≥ 0, x ≠ 1

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Câu 10: Rút gọn biểu thức: với x ≥ 0, x ≠ 1

Lời giải:

Chọn đáp án D.

Câu 11: Giá trị biểu thức là:

A. 6            

B. 4            

C. 2            

D. 3

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 12: Rút gọn biểu thức với a > 0 ta được:

Lời giải:

Với a > 0, ta có

Đáp án cần chọn là: A

Câu 13: Rút gọn biểu thức ta được:

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 14: Đẳng thức nào dưới đây là đúng:

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 15: Với a, b > 0, đẳng thức nào dưới đây là đúng?

Lời giải:

Ta có:

Đáp án cần chọn là: A

4. Bài tập tự luyện

Bài 1. Thực hiện rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\mathrm{4,5}}+\sqrt{\mathrm{12,5}}$;

b) $\sqrt{96}-6\sqrt{\frac{2}{3}}+\frac{3}{3+\sqrt{6}}-\sqrt{10-4\sqrt{6}}$.

Hướng dẫn giải:

Bài 2. Rút gọn biểu thức:

a) $2\sqrt{\frac{27}{4}}-\sqrt{\frac{48}{9}}-\frac{2}{5}\sqrt{\frac{75}{16}}$;

b) $\left(\sqrt{99}-\sqrt{18}-\sqrt{11}\right).\sqrt{11}+3\sqrt{22}$;

c) $\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\sqrt{8-2\sqrt{15}}$;

d) $\left(\sqrt{48}-2\sqrt{3}+2\sqrt{4}\right).\sqrt{5}-2\sqrt{45}:\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải:

Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\left(\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}-\frac{\sqrt{216}}{3}\right).\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{-3}{2}$;

b) $\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right){\left(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)}^2$ = 1 với a ≥ 0, a ≠ 1.

Hướng dẫn giải:

Bài 4. Với a > 0, các biểu thức sau được rút gọn:

a) $5\sqrt{a}+6\sqrt{\frac{a}{4}}-a\sqrt{\frac{4}{a}}+\sqrt{5}$;

b) $2\sqrt{a}-\sqrt{9a^3}+a^2\sqrt{\frac{a}{4}}+\frac{2}{a^2}\sqrt{25a^5}$.

Hướng dẫn giải:

a) $5\sqrt{a}+6\sqrt{\frac{a}{4}}-a\sqrt{\frac{4}{a}}+\sqrt{5}$

= $5\sqrt{a}+3\sqrt{a}-2\sqrt{a}+\sqrt{5}$

= $6\sqrt{a}+\sqrt{5}$;

b) $2\sqrt{a}-\sqrt{9a^3}+a^2\sqrt{\frac{4}{a}}+\frac{2}{a^2}\sqrt{25a^5}$

= $2\sqrt{a}-3a\sqrt{a}+a^2\frac{2}{\sqrt{a}}+\frac{2}{a^2}.5a^2\sqrt{a}$

= $2\sqrt{a}-3a\sqrt{a}+2a\sqrt{a}+10\sqrt{a}$

= $12\sqrt{a}-a\sqrt{a}$.

Bài 5. Cho biểu thức N = $\frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}$

a) Rút gọn biểu thức N;

b) Tính giá trị của N khi x = $11-6\sqrt{2}$;

c) Tìm các giá trị của x nguyên để N nguyên.

Hướng dẫn giải:

a) Rút gọn biểu thức N:

b) Ta có: $x=11-6\sqrt{2}={\left(3-\sqrt{2}\right)}^2$ => $\sqrt{x}=\sqrt{{\left(3-\sqrt{2}\right)}^2}=3-\sqrt{2}$

Thay $\sqrt{x}=3-\sqrt{2}$ vào biểu thức N, ta được:

N = $\frac{3-\sqrt{2}+1}{3-\sqrt{2}-3}=\frac{4-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}$ = $\frac{-\sqrt{2}\left(-2\sqrt{2}+1\right)}{-\sqrt{2}}$ = $-2\sqrt{2}+1$

Giá trị của N khi x = $11-6\sqrt{2}$ là $-2\sqrt{2}+1$.

c) N = $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}$ = $\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}+\frac{4}{\sqrt{x}-3}$ = $1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}$

Để N nguyên khi $1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\in \mathbb{Z}$ => $\frac{4}{\sqrt{x}-3}\in \mathbb{Z}$

Suy ra $\sqrt{x}-3$ ∈ Ư(4) = {–1; –2; –4; 1; 2; 4}.

$\sqrt{x}-3$	– 1	– 2	– 4	1	2	4
$\sqrt{x}$	2	1	– 1	4	5	7
x	4	1	Loại	16	25	49
	(TM)	(TM)		(TM)	(TM)	(TM)

Vậy x ∈ {1; 4; 16; 25; 49} để N nguyên

Bài 6. Nối cột A với cột B

Bài 7. Với $a\ge \mathrm{0,}b\ge 0$ hãy rút gọn biểu thức A = $5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^3}+5a\sqrt{16a{b}^2}-\sqrt{9a}$.

Bài 8. Các đẳng thức dưới đây được chứng minh đúng hay sai?

Đẳng thức	Đúng/ Sai
$\frac{a+b}{b^2}\sqrt{\frac{a^2{b}^4}{a^2+2ab+b^2}}=\left|a\right|$ với a + b < 0, b ≠ 0
$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}$ - $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}$ - $\frac{2b}{b-a}$ = $\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ với a ≠ b; a, b ≥ 0

Bài 9. Với a > 0, cho hai biểu thức A = $\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$ và B = $\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$.

a) Tính giá trị của A khi x = 4;

b) Tìm các giá trị thực của x để B = $\frac{1}{3}$;

c) So sánh B với 1;

d) Đặt P = A : B. Tìm x thỏa mãn $P\sqrt{x}+\left(2\sqrt{5}-1\right).\sqrt{x}$ = $3x-3\sqrt{x-4}+3$.

Bài 10. Cho biểu thức:

P = $\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-x+\sqrt{x}-1}\right)$ : $\left(\frac{x+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{x+1}\right)$ với x ≥ 0, x ≠ 1

a) Rút gọn P;

b) Tìm x để P < $\frac{1}{2}$;

c) Tìm x nguyên để P nguyên;

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Xem thêm lý thuyết và các dạng bài tập Toán lớp 9 có lời giải hay khác:

• Lý thuyết Bài 9: Căn bậc ba (hay, chi tiết)
• Trắc nghiệm Bài 9 (có đáp án): Căn bậc ba
• Tổng hợp Lý thuyết Chương 1 Đại Số 9 (hay, chi tiết)
• Tổng hợp Trắc nghiệm Chương 1 Đại Số 9 (có đáp án)
• Lý thuyết Bài 1: Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số (hay, chi tiết)
• Trắc nghiệm Bài 1 (có đáp án): Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

---