Diện tích đa giác và cách giải bài tập (hay, chi tiết)

---

---

Bài viết Diện tích đa giác và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 8.

I. Lý thuyết

Để tính diện tích đa giác, ta thường chia đa giác đó thành tam giác, các tứ giác tính được diện tích rồi tính tổng các diện tích đó; hoặc tạo ra một đa giác nào đó có chứa đa giác đó rồi tính hiệu các diện tích.

II. Dạng bài tập:

Dạng: Tính diện tích của một đa giác

Phương pháp giải:

Bước 1: Chia đa giác đó thành các tam giác, tứ giác tính được diện tích theo công thức hoặc tạo ra một đa giác mới chứa đa giác đó.

Bước 2: Tính diện tích các đa giác đã chia hoặc đa giác đã được tạo ra.

Bước 3: Tính diện tích đa giác cần tìm bằng cách sử dụng tổng hoặc hiệu các đa giác vừa tính được

Ví dụ 1: Tính diện tích đa giác ABCDE trong hình vẽ (mỗi ô vuông nhỏ cạnh bằng 1cm).

Lời giải:

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: $S_{MNPQ}=MN.NP=6.4=24c{m}^2$

Diện tích tam giác AMB là: $S_{AMB}=\frac{1}{2}AM.MB=\frac{1}{2}\mathrm{.2.4}=4c{m}^2$

Diện tích tam giác BNC là: $S_{BNC}=\frac{1}{2}.BN.NC=\frac{1}{2}\mathrm{.2.2}=2c{m}^2$

Diện tích tam giác CPD là: $S_{CPD}=\frac{1}{2}CP.CD=\frac{1}{2}\mathrm{.2.3}=3c{m}^2$

Diện tích tam giác EQA là: $S_{EQA}=\frac{1}{2}.EQ.QA=\frac{1}{2}\mathrm{.1.2}=1c{m}^2$

Ta có: $S_{MNPQ}=S_{AMB}+S_{BNC}+S_{CPD}+S_{EQA}+S_{ABCDE}$

$\iff 24=4+2+3+1+S_{ABCDE}$

$\iff 24=10+S_{ABCDE}$

$\Rightarrow S_{ABCDE}=24-10=14c{m}^2$.

Ví dụ 2:  Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Tứ giác MNPQ là hình gì?

b) Cho diện tích hình chữ nhật ABCD là S (đơn vị diện tích). Tính diện tích tứ giác MNPQ theo S.

Lời giải:

a) Vì M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AC$ (tính chất) (1)

Vì N là trung điểm của BC, P là trung điểm của CD nên NP là đường trung bình của tam giác BCD.

$\Rightarrow NP=\frac{1}{2}BD$ (tính chất) (2)

Vì P là trung điểm của DC, Q là trung điểm của AD nên PQ là đường trung bình của tam giác ACD.

$\Rightarrow PQ=\frac{1}{2}AC$ (tính chất) (3)

Vì Q là trung điểm của AD, M là trung điểm của AB nên QM  là đường trung bình của tam giác ABD.

$\Rightarrow QM=\frac{1}{2}BD$ (tính chất) (4)

Mà AC = BD (tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật) (5)

Từ (1); (2); (3); (4); (5) $\Rightarrow MN=NP=PQ=QM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD$

Xét tứ giác MNPQ có:

$MN=NP=PQ=QM$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow$Tứ giác MNPQ là hình thoi.

b) Vì N là trung điểm của BC, Q là trung điểm của AD nên NQ = AB (do hình chữ nhật cũng là hình thang)

Vì M là trung điểm AB, P là trung điểm của CD nên MP = BC (do hình chữ nhật cũng là hình thang)

Diện tích hình thoi MNPQ là:

$S_{MNPQ}=\frac{1}{2}NQ.MP=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{1}{2}S$(đơn vị diện tích)

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD có diện tích $60c{m}^2$. Trên cạnh AB lấy các điểm E, F sao cho AE = EF = FB. Trên cạnh CD lấy các điểm G, H sao cho CG = GH = HD.

a) Tính tổng diện tích tam giác ADH và CBF.

b) Tính diện tích tứ giác EFGH.

Lời giải:

a) Ta có: $S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}=60c{m}^2$

Vì AE = EF = FB $\Rightarrow BF=\frac{1}{3}AB$

Xét tam giác BCF và tam giác BCA có:

Chung đường cao hạ từ đỉnh C xuống AB

$\Rightarrow BF=\frac{1}{3}AB$

Do đó: $S_{BCF}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$

Vì DH = HG = GC$\Rightarrow DH=\frac{1}{3}DC$

Xét tam giác ADH và tam giác ADC có

Chung đường cao hạ từ đỉnh A xuống DC

$DH=\frac{1}{3}DC$

Do đó: $S_{ADH}=\frac{1}{3}{S}_{ADC}$

Ta có:

$S_{BCF}+S_{ADH}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}+\frac{1}{3}{S}_{ADC}=\frac{1}{3}\left(S_{ABC}+S_{ADC}\right)$

$S_{BCF}+S_{ADH}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}=\frac{1}{3}.60=20c{m}^2$

b) Ta có:

$S_{ABCD}=S_{BCF}+S_{ADH}+S_{A\text{}FCH}$

$\iff 60=20+S_{AFCH}$

$\Rightarrow S_{A\text{}FCH}=40c{m}^2$

$S_{A\text{}FCH}=S_{AEH}+S_{HEF}+S_{HFG}+S_{GFC}$ (1)

Xét tam giác AEH và tam giác HEF có

AE = EF

Chung đường cao hạ từ H xuống AF

Do đó $S_{AEH}=S_{HEF}$ (2)

Xét tam giác HFG và tam giác GFC có:

HG = GC

Chung đường cao hạn từ F xuống HC

Do đó $S_{HFG}=S_{GFC}$(3)

Thay (2); (3) vào (1) ta có:

$S_{A\text{}FCH}=S_{HE\text{}F}+S_{HE\text{}F}+S_{HFG}+S_{HFG}$

$\iff S_{A\text{}FCH}=2S_{HE\text{}F}+2S_{HFG}$

$\iff S_{A\text{}FCH}=2\left(S_{HE\text{}F}+S_{HFG}\right)$

$\iff S_{A\text{}FCH}=2S_{E\text{}FGH}$

$\Rightarrow S_{E\text{}FGH}=40:2=20c{m}^2$

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có CD = 4cm, đường cao vẽ từ A đến cạnh CD bằng 3cm.

a) Tính diện tích hình bình hành ABCD.

b) Gọi M là trung điểm của AB. Tính diện tích tam giác ADM.

c) DM cắt AC tại N. Chứng minh DN = 2MN.

d) Tính diện tích tam giác AMN.

Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích $30c{m}^2$. Các điểm D, E theo thứ tự lấy trên cạnh AC, AB sao cho AD = DC; $AE=\frac{1}{2}EB$. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Tính diện tích tứ giác ADKE.

Bài 3: Tính diện tích tứ giác ABCD biết $\widehat{C}=60°$, CA là tia phân giác của góc $\widehat{C}$ và CA = 4cm, CB = 3cm, CD = 5cm.

Bài 4: Cho tứ giác ABCD, gọi E là trung điểm của AB, gọi F là trung điểm của CD, gọi I là giao điểm của AF và DE, K là giao điểm của BF và CE. Chứng minh:

a) $S_{EDC}=S_{ADF}+S_{BCF}$

b) $S_{EIFK}=S_{AID}+S_{BKC}$

Bài 5: Cho tứ giác ABCD. Hãy dựng tam giác ABE $\left(E\in AD\right)$ có diện tích bằng diện tích tứ giác ABCD.

Bài 6: Cho tứ giác ABCD có diện tích là S. M là trung điểm của AC. Chứng minh: $S_{ABMD}=\frac{1}{2}S$.

Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A, có diện tích S. Gọi O là trung điểm của đường cao AH. Gọi D là giao điểm của BO với cạnh AC và E là giao điểm của CO với cạnh AB. Tính diện tích tứ giác ADOE theo S.

Bài 8: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC (AD < DC). Hãy kẻ đường thẳng đi qua D và chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Bài 9: Cho tứ giác ABCD. Hãy kẻ đường thẳng đi qua A và chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Bài 10: Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M là giao điểm của BG và AC. Chứng minh:

a) $S_{GBC}=\frac{2}{3}{S}_{MBC}$

b) $S_{GBC}=S_{GAC}=S_{GAB}$

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Phân thức đại số, tính chất cơ bản của phân thức đại số và cách giải bài tập
• Rút gọn phân thức đại số và cách giải bài tập
• Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và cách giải bài tập
• Các phép toán về phân thức đại số và cách giải bài tập
• Rút gọn biểu thức hữu tỉ và cách giải bài tập

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---

---

---