Phân thức đại số, tính chất cơ bản của phân thức đại số và cách giải bài tập (hay, chi tiết)



Bài viết Phân thức đại số, tính chất cơ bản của phân thức đại số và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 8.

I. Lý thuyết

1. Khái niệm phân thức đại số

Phân thức đại số (hay gọi là phân thức) là biểu thức có dạng AB với A, B là các đa thức và B0.

A được gọi là tử thức (hay tử).

B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

2. Hai phân thức bằng nhau

+ Hai phân thức ABCD (B, D0) được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C. Ta viết:

AB=CD(B, D0) nếu A.D = B.C

Chú ý:

- Các tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau của phân số cũng đúng cho phân thức.

- Các giá trị của biến làm cho mẫu bằng 0 gọi là giá trị làm phân thức vô nghĩa hoặc không xác định.

3. Các tính chất cơ bản của phân thức

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

AB=A.MB.M(với là phân thức; B, M0)

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của tử và mẫu ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.

AB=A:NB:N(với N là nhân tử chung của A và B)

4. Quy tắc đổi dấu

- Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức đã cho thì ta được phân thức mới bằng phân thức ban đầu.

AB=AB(với B0)

- Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu của phân thức và đồng thời đổi dấu phân thức ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

AB=AB=AB(với B0)

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa

Phương pháp giải: Phân thức AB có nghĩa khi và chỉ khi B0.

Ví dụ 1: Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa

a) 4x32+x

b) 5x43x2.

Lời giải:

a) Phân thức 4x32+x có nghĩa 2+x0x2.

b) Phân thức 5x43x2 có nghĩa 3x203x2x23.

Ví dụ 2: Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa

a) 3x+2x25x+6

b) 3x42x27x+3.

Lời giải:

a) Phân thức 3x+2x25x+6 có nghĩa thì x25x+60

x23x2x+60

xx32x30

x3x20

x30x20

x3x2

Vậy để phân thức có nghĩa thì x3 và x2.

b) Để phân thức 3x42x27x+3 có nghĩa thì 2x27x+30

2x26xx+30

2xx3x30

2x1x30

2x10x30

2x1x3

x12x3

Vậy để phân thức có nghĩa thì x12x3.

Dạng 2: Tính giá trị phân thức tại một giá trị của biến

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện có nghĩa của phân thức

Bước 2: Kiểm tra giá trị của biến với điều kiện

Bước 3: Tính giá trị phân thức bằng cách thay giá trị của biến vào phân thức rồi thực hiện tính toán biểu thức số.

Ví dụ 1: Tính giá trị phân thức 3x+25x+6 tại điểm x = 3

Lời giải:

Điều kiện xác định:

5x+60

x65

Thay x = 3 (thỏa mãn điều kiện) vào phân thức ta được

3.3+25.3+6=1121

Vậy giá trị phân thức là 1121 tại x =3.

Ví dụ 2: Tính giá trị phân thức x+2x26x+8 tại các điểm x = 2 và x = 65

Lời giải:

Điều kiện xác định:

x26x+80

x24x2x+80

xx42x40

x2x40

x20x40

x2x4

Với x = 2 (không thỏa mãn điều kiện) nên phân thức không xác định

Với x = 65(thỏa mãn điều kiện) thay vào phân thức ta được

65+26526.65+8=4541625=5104

Vậy:

Với x = 2 ta không xác định được giá trị của phân thức

Với x = 65 phân thức có giá trị là 5104.

Dạng 3: Tìm giá trị của biến để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Cho biểu thức bằng với giá trị cho trước. Sau đó dùng các phương pháp tìm x thông thường để giải.

Ví dụ 1: Tìm x để phân thức 3x+24x1 có giá trị bằng 2

Lời giải:

Điều kiện xác định:

4x10

4x1

x14

Ta có: 3x+24x1=2

3x+2=24x1

3x+2=8x2

8x3x=2+2

5x=4

x=45(thỏa mãn điều kiện)

Vậy x=45 thì phân thức 3x+24x1 có giá trị là 2.

Ví dụ 2: Cho phân thức A = x212x23x+1. Tìm x để A = 1.

Lời giải:

Điều kiện xác định:

2x23x+10

2x22xx+10

2xx1x10

2x1x10

2x10x10

2x1x1

x12x1

Để A = 1 thì x212x23x+1=1

x21=2x23x+1

2x2x23x+1+1=0
x23x+2=0

x22xx+2=0

xx2x2=0

x2x1=0

x2=0x1=0

x=2(tm)x=1(ktm)

Vậy để A = 1 thì x = 2.

Dạng 4: Chứng minh phân thức bằng nhau

Phương pháp giải: Hai phân thức ABCD (B, D0) được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C. Ta viết:

AB=CD(B, D0) nếu A.D = B.C

Chọn một trong bốn cách biến đổi sau

Cách 1: Dùng định nghĩa AB=CD(B, D0) nếu A.D = B.C

Cách 2: Biến đổi vế trái thành vế phải.

Cách 3: Biến đổi vế phải thành vế trái.

Cách 4: Biến đổi đồng thời cả hai vế.

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau 2x12x2+3x2=1x+2 với x2;x12.

Lời giải:

Đặt

VT=2x12x2+3x2

VP=1x+2

Ta biến đổi vế trái

VT=2x12x2+3x2

VT=2x12x2+4xx2

VT=2x12xx+2x+2

VT=2x1x+22x1

VT=1x+2=VP (điều phải chứng minh).

Ví dụ 2: Hai phân thức x4x25x+4 và x2x23x+2 có bằng nhau không với x2;x4; x1.

Lời giải:

Ta có:

x4x25x+4=x4x24xx+4

=x4xx4x4=x4x1x4

=1x1(1)

Ta lại có:

x2x23x+2=x2x22xx+2

=x2xx2x2=x2x1x2

=1x1(2)

Từ (1) và (2) x4x25x+4=x2x23x+2=1x1 (điều phải chứng minh).

Dạng 5: Tìm phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Ta thực hiện theo hai bước

Bước 1: Phân tích tử thức, mẫu thức ở cả hai vế

Bước 2: Triệt tiêu các nhân tử chung và rút ra đa thức cần tìm.

Chú ý: Áp dụng tính chất của hai phân thức bằng nhau

AB=CDA.D=B.CB,D0

Ví dụ 1: Tìm đa thức A trong đẳng thức sau x1x2+2x+4=Ax38 với x2.

Lời giải:

x1x2+2x+4=Ax38

x1x2+2x+4=Ax2x2+2x+4

Ta có:

x2+2x+4=x2+2x+1+3=x+12+3

x+120 với mọi x nên x+12+33 với mọi x

x2+2x+40

Nhân cả hai vế với x2+2x+4

x1=Ax2

A=x1x2

A=x22xx+2

A=x23x+2

Vậy A=x23x+2 với x2.

Ví dụ 2: Tìm đa thức B thỏa mãn đẳng thức sau 2x3+4x2x24=Bx2 với x±2.

Lời giải:

2x3+4x2x24=Bx2

2x2x+2x+2x2=Bx2

2x2x2=Bx2

2x2=B (vì x±2 nên x – 20)

Vậy B = 2x2 với x±2.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm điều kiện của các phân thức sau

a) 4x12x+5

b) 4x22x23x+1

c) 3x1x22

d) 2x3x3x2+x1

Bài 2: Tính giá trị phân thức

a) 4x32x23x+1 với x = 2

b) 3x12x5 với x=12

Bài 3: Tìm các đa thức B trong mỗi trường hợp sau

a) 2x1x3.1B=1x24x+3 với x12;x1;x13

b) B2x3=2x2+3x4x29 với x±32

Bài 4: Tính giá trị phân thức A=x22x3x22x+1 tại x trong các trường hợp sau:

a) x=3

b) 2x1=1

c) 4x+3=7

Bài 5: Chứng minh các đẳng thức bằng nhau x2+3x2x1x+2=x24x+44x2 với x±2;x1

Bài 6: Tìm một cặp đa thức A, B thỏa mãn đẳng thức x21Ax22x+1=x+1Bx2x6

Với x1;x2;x3

Bài 7: Cho ba phân thức x2x2x2+x; x2x; x23x+2x2x có bằng nhau không? Vì sao?

Bài 8:  Cho đẳng thức x+3Ax3=x1Bx29 với x±3. Tìm cặp số A, B thỏa mãn.

Bài 9: Tìm đa thức M thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:

a) x+1M=x22x+4x3+8 với x1;x2

b) x3x+3.M=2x38x26x+36x+2 với x±3;x2

Bài 10: Cho B=3x210x+3x24x+3 với x2;x3

Tính giá trị của B khi x thỏa mãn x28x+15=0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:




Giải bài tập lớp 8 sách mới các môn học