Rút gọn phân thức đại số và cách giải bài tập (hay, chi tiết)



Bài viết Rút gọn phân thức đại số và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 8.

I. Lý thuyết

Để rút gọn phân thức cho trước ta làm như sau

Bước 1: Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử thức và mẫu thức.

Bước 2: Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho.

Nhắc lại các tính chất cơ bản của phân thức

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

AB=A.MB.M (với là phân thức; B, M0)

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của tử và mẫu ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.

AB=A:NB:N (với N là nhân tử chung của A và B)

- Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức đã cho thì ta được phân thức mới bằng phân thức ban đầu.

AB=AB (với B0)

- Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu của phân thức và đồng thời đổi dấu phân thức ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

AB=AB=AB (với B0)

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Rút gọn phân thức

Phương pháp giải: Ta thực hiện theo hai bước sau

Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử để tìm nhân tử chung.

Bước 2: Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung.

Chú ý: Có khi cần đổi dấu ở tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung của tử và mẫu (lưu ý tới tính chất A = – (– A)).

Ví dụ 1: Rút gọn phân thức sau: 2x3x22x+1x3+3x2x3 với x3;x±1

Lời giải:

2x3x22x+1x3+3x2x3

=x22x12x1x2x+3x+3

=2x1x21x+3x21

=2x1x+3 với x3;x±1

Ví dụ 2: Đơn giản phân thức sau 9x2y2+3x212xy5+4xy3 với x,y0

Lời giải:

9x2y2+3x212xy5+4xy3

=3x23y2+14xy33y2+1

=3x24xy3

=3x4y3 với x,y0

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải: Chọn 1 trong ba cách biến đổi sau

Cách 1: Biến đổi vế trái thành vế phải

Cách 2: Biến đổi vế phải thành vế trái

Cách 3: Biến đổi đồng thời cả hai vế

Chú ý: Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi, rút gọn.

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức:

2x2+3xy+y22x3+x2y2xy2y3=1xy với y2x;y±x

Lời giải:

Đặt VT=2x2+3xy+y22x3+x2y2xy2y3

VP=1xy

Ta biến đổi vế trái

VT=2x2+3xy+y22x3+x2y2xy2y3

VT=2x2+2xy+xy+y22x3+x2y2xy2y3

VT=2xx+y+yx+yx22x+yy22x+y

VT=2x+yx+yx2y22x+y

VT=x+yx+yxy

VT=1xy=VP (điều phải chứng minh)

Ví dụ 2: Cho P=4xy24x2y+x34x38x2y và Q=2xyx22y+x4x4x2

Với x0;x1;x2y

Chứng minh P = Q

Lời giải:

Ta có:

P=4xy24x2y+x34x38x2y

P=x4y24xy+x24x2x2y

P=xx2y24x2x2y

P=x2y4x(1)

Ta lại có

Q=2xyx22y+x4x4x2

Q=2xy2y+xx24x4x2

Q=2yx1xx14xx1

Q=x12yx4xx1

Q=2yx4x

Q=x2y4x(2)

Từ (1) và (2) P=Q (điểu phải chứng minh)

Dạng 3: Chứng minh một phân thức là phân thức tối giản

Phương pháp giải: Ta chứng minh tử thức và mẫu thức có ước chung lớn nhất là 1 hoặc -1

Bước 1: Gọi ước chung lớn nhất của tử thức và mẫu thức là d

Bước 2: Chứng minh d=±1

Chú ý: Cần vận dụng các kiến thức liên quan đến ước và bội, tính chất chia hết…

+ Khi a chia hết cho b, ta nói a là bội của b và b là ước của a.

+ Tính chất chia hết của một tổng(hiệu): a    mb    ma±b     m

+ Tính chất chia hết của một tích: a    m    ​​ka    m.

Ví dụ 1: Chứng minh các phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n:

a) 3n+15n+2

b) 2n14n22

Lời giải:

a) 3n+15n+2

Gọi ước chung lớn nhất của 3n + 1 và 5n + 2 là d

3n+1d5n+2d

5.3n+1d3.5n+2d

15n+5d15n+6d

15n+615n+5d      (áp dụng tính chất chia hết của một hiệu)

15n+615n5d

1d

d=1 hoặc d = -1

Vậy 3n+15n+2 là phân số tối giản với n

b) 2n14n22

Gọi ước chung của 2n – 1 và 4n22 là d

2n1d4n22d

2n2n1d4n22d        (áp dụng tính chất chia hết của một tích)

4n22nd4n22d

 4n22n4n22d    (áp dụng tính chất chia hết của một hiệu).

4n22n4n2+2d

2n+2d

2n+2+2n1d    (áp dụng tính chất chia hết của một tổng)

2n+2+2n1d

1dd=1 hoặc d = -1

Vậy phân thức đã cho tối giản với n

Ví dụ 2: Trong các phân thức sau, phân thức nào tối giản

a) 2n2+1n2+1

b) 2n+12n+3

Lời giải:

a) 2n2+1n2+1

Gọi d là ước chung lớn nhất của 2n2+1 và n2+1

2n2+1dn2+1d

2n2+1d2n2+1d

2n2+1d2n2+2d

2n2+12n2+2d

2n2+12n22d

1d

 d=1hoặc d = -1

Vậy phân thức 2n2+1n2+1 tối giản.

b) 2n+12n+3

Gọi ước chung lớn nhất của 2n + 1 và 2n + 3 là d

2n+1d2n+3d

2n+12n+3d

2n+12n3d

2d

 Ngoài hai ước là 1 và  – 1 thì tử thức và mẫu thức đã cho còn có thêm ít nhất một ước nữa là 2.

Vậy phân thức 2n+12n+3 không là phân thức tối giản.

Dạng 4: Tìm giá trị nguyên của biến x để phân thức đạt giá trị nguyên

Phương pháp giải: Phân thức AxBx

Bước 1: Chia A(x) cho B(x). Khi đó ta được AxBx=Cx+mBx

Với C(x) là đa thức nhận giá trị nguyên khi x nguyên, m là số nguyên

Bước 2: Để AxBx nguyên thì mBx nguyên hay B(x)Ư(m)

Bước 3: Tìm các giá trị x thỏa mãn và kết luận.

Ví dụ: Tìm x nguyên để các phân thức sau nhận giá trị nguyên

a) 3x+1

b) 6x+42x1

Lời giải:

a) Để phân thức 3x+1 nguyên thì x+1Ư(3) với điều kiện x-1

Ư(3) = 3;1;1;3

x + 1

-3

-1

1

3

x

-4 (thỏa mãn)

-2 (thỏa mãn)

0 (thỏa mãn)

2 (thỏa mãn)

Vậy để phân thức 3x+1 nguyên thì x4;2;0;2

b) 6x+42x1=6x3+72x1=32x12x1+72x1=3+72x1 với x12

Để 6x+42x1 nguyên thì 3+72x1 nguyên hay 72x1

2x1Ư(7)

Ư(7) = 7;1;1;7

2x - 1

-7

-1

1

7

2x

-6

0

2

8

x

-3 (thỏa mãn)

0 (thỏa mãn)

1 (thỏa mãn)

4 (thỏa mãn)

Vậy để phân thức 6x+42x1 nguyên thì x3;0;1;4

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tối giản các phân thức sau

a) x3+y3x4y4

b) 2x4y2+x24x3y4+2xy2

Bài 2: Rút gọn phân thức sau:

B=x4+x3+x1x4+x3+3x2+2x+2

Bài 3: Chứng minh đẳng thức sau:

a) x2y2xy2+y32x2xyy2=xyy22x+y với xy;y2x

b) xxy+yy2y33y2+3y1=x+yy2+2y1 với y1

Bài 4: Chứng minh các phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n

a) 8n+1512n+22

b) 3n+82n+5

Bài 5: Tìm x nguyên để phân thức sau đạt giá trị nguyên

a) A=6x2

b) B=2x52x+1

c) C=x2+3x1x2

d) D=x33x2x5

Bài 6: Các phân thức sau đây phân thức nào tối giản?

a) n3+2nn4+3n2+1

b)4n+1n3

c) 7n53n2

Bài 7: Cho hai phân thức sau

A=4x24xy+y2y36y2x+12yx28x3 và B=12xy với y2x

Hai phân thức trên có bằng nhau không?

Bài 8: Rút gọn phân thức A=x7x4+x31x6+x5+x4+x2+x+1.

Bài 9: Rút gọn phân thức B=1x4x10x8+4x64x4+4x24 với x±1.

Bài 10: Chứng tỏ hai phân thức ab+cx+ax+bcay+2cx+2ax+cyx+b2x+y bằng nhau.

Với y2x;ac.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:




Giải bài tập lớp 8 sách mới các môn học