Tìm x để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước và cách giải bài tập (hay, chi tiết)



Bài viết Tìm x để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 8.

I. Lý thuyết

1. Phân thức nhận giá trị  âm, phân thức nhận giá trị dương

Phân thức AxBx>0 khi A(x); B(x) cùng dấu

Phân thức AxBx<0 khi A(x); B(x) trái dấu

2. Tìm giá trị nguyên của biến để phân thức nguyên

AxBx=Cx+mBx (B(x)0)

Phân thức AxBx chỉ nguyên khi C(x) nguyên và m chia hết cho B(x) với m là một số.

3. Tìm giá trị của biến để phân thức thỏa mãn một giá trị cho trước

Phân thức AxBx=m (B(x)0)

Ax=m.Bx

4. Tìm giá trị của biến để phân thức đạt giá trị lớn nhất nhỏ nhất

Cho phân thức AxBx (B(x)0)

+ M là giá trị lớn nhất của phân thức AxBx nếu AxBxM với mọithỏa mãn điều kiện

Tồn tại x0 sao cho Ax0Bx0=M.

+ m là giá trị nhỏ nhất của phân thức AxBx nếu AxBxm với mọi thỏa mãn điều kiện

Tồn tại x0 sao cho Ax0Bx0=m.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm x để phân thức nhận giá trị âm, giá trị dương

Phương pháp giải:

Ta có:

Xét phân thức AxBx (B0)

*AxBx<0Ax>0Bx<0Ax<0Bx>0

*AxBx>0Ax>0Bx>0Ax<0Bx<0

*AxBx0Ax0Bx>0Ax0Bx<0

*AxBx0Ax0Bx<0Ax0Bx>0

Ví dụ 1: Tìm x để phân thức sau

a) x+3x1< 0

b) 2x+4x30

c) 2x+3x+5>0

Lời giải:

a) x+3x1<0

TH1:x+3<0x1>0

x<3x>1 (vô lí)

TH2:x+3>0x1<0

x>3x<13<x<1

Vậy x+3x1<0 thì 3<x<1.

b) 2x+4x30

TH1:2x+40x3>0

2x4x>3

x2x>3 (vô lí)

TH2:2x+40x3<0

2x4x<3

x2x<32x<3

Vậy 2x+4x30 thì 2x<3.

c) 2x+3x+5>0

TH1:2x+3>0x+5>0

2x>3x>5

x<32x>55<x<32

TH2:2x+3<0x+5<0

2x<3x<5

x>32x<5(vô lí)

Vậy 2x+3x+5>0 khi 5<x<32.

Ví dụ 2: Chứng minh

a) P=x2+2x+5x24x+6 luôn dương với mọi x.

b) Q=x2+2x52x220x+60 luôn âm với mọi x.

Lời giải:

a) P=x2+2x+5x24x+6

Ta có:

x2+2x+5=x2+2x+1+4=x+12+44>0 ( Vì x+120)   (1)

x24x+6=x24x+4+2=x22+22>0 (Vì x22 0)  (2)

Từ (1) và (2) ta có mẫu thức và tử thức luôn dương nên P luôn dương.

b) Q=x2+2x52x220x+60

Ta có:

x2+2x5=x22x+5=x22x+1+4

=x12+4=x1244<0( vì x120)

2x220x+60=2x210x+30=2x210x+25+5

=2x+52+5=2x+52+1010>0 (vì x+520).

Vì mẫu thức luôn dương và tử thức luôn âm với mọi x nên Q < 0.

Dạng 2: Tìm x nguyên để phân thức là một số nguyên

Phương pháp giải: Phân thức AxBx

Bước 1: Chia A(x) cho B(x). Khi đó ta được AxBx=Cx+mBx

Với C(x) là đa thức nhận giá trị nguyên khi x nguyên, m là số nguyên

Bước 2: Để AxBx nguyên thì mBx nguyên hay B(x)Ư(m)

Bước 3: Tìm các giá trị x thỏa mãn và kết luận

Ví dụ 1: Tìm x nguyên để các phân thức sau đây nguyên

a) A=42x3

b) B=4x1x+3

c) C=x2x+2x3

Lời giải:

a) Với x32

A=42x3 nguyên khi và chỉ khi 42x3 hay 2x3Ư(4) 

Ư(4) = ±1;±2;±4 và x nguyên nên ta có bảng sau:

2x - 3

-4

-2

-1

1

2

4

2x

-1

1

2

4

5

7

x

1 2 (ktm)

1 2 (ktm)

1 (tm)

2 (tm)

5 2 (ktm)

7 2 (ktm)

Vậy x1;2 thì A nguyên.

b) Với x 3

B=4x1x+3=4x+1213x+3=4x+313x+3=4x+3x+313x+3=413x+3

Để B nguyên thì 413x+3 hay 13x+3 nguyên.

13x+3 hay x+3Ư(13)

Ư(13) = ±1;±13

x + 3

-13

-1

1

13

x

-16 (tm)

-4 (tm)

-2 (tm)

10 (tm)

Vậy x16;4;2;10 thì B nguyên.

c) C=x2x+2x3

=x23x+2x6+8x3=xx3+2x3+8x3

=xx3x3+2x3x3+8x3

=x+2+8x3 (với x3)

Để C nguyên thì x+2+8x3 nguyên hay 8x3 nguyên (do x nguyên nên x + 2 cũng nguyên)

8x3 nguyên khi và chỉ khi 8x3 hay x3Ư(8)

Ư(8) = ±1;±2;±4;±8

x-3

-8

-4

-2

-1

1

2

4

8

x

-5 (tm)

-1 (tm)

1 (tm)

2 (tm)

4 (tm)

5 (tm)

7 (tm)

11 (tm)

Vậy x5;1;1;2;4;5;7;11 thì C nguyên.

Ví dụ 2: Cho biểu thức

A=2a25a+4+3a216:5a2+3a4 với a1;a±4

a) Rút gọn A.

b) Tìm a nguyên để A nguyên,

Lời giải:

a) A=2a25a+4+3a216:5a2+3a4

A=2a4a1+3a4a+4:5a+4a1

A=2a+4a4a1a+4+3a1a4a1a+4:5a+4a1

A=2a+8a4a1a+4+3a3a4a1a+4:5a+4a1

A=2a+8+3a3a4a1a+4:5a+4a1

A=5a+5a4a1a+4.a+4a15

A=5a+1a+4a15a4a1a+4

A=a+1a4.

b) Ta có: A=a+1a4=a4+5a4=a4a4+5a4=1+5a4

Để A nguyên thì 5a4 nguyên hay 5a4

a4Ư(5)

Ư(5) = ±1;±5

a - 4

-5

-1

1

5

a

-1 (tm)

3 (tm)

5 (tm)

9 (tm)

Vậy để A nguyên thì a1;3;5;9.

Dạng 3: Tìm giá trị của biến để phân thức đạt giá trị cho trước

Phương pháp giải: Giả sử tìm x để phân thức AxBx= m (với m là một giá trị cho trước)

Bước 1: Tìm điều kiện để Bx0.

Bước 2: Giải A(x) = m.B(x) để tìm x.

Bước 3: So sánh với điều kiện rồi kết luận.

Ví dụ 1:

a) Cho A = 3x34x+1. Tìm x để A = 4.

b) Cho B = x2+x+2x3. Tìm x để B = 45.

Lời giải:

a) Điều kiện: x14

 A = 4 3x34x+1=4

3x3=44x+1

3x3=16x+4

16x3x=34

13x=7

x=713

Vậy để A = 4 thì x=713.

b) Điều kiện: x3

B = 45x2+x+2x3=45

5x2+x+2=4x3

5x2+5x+10=4x+12

5x2+5x+4x+1012=0

5x2+9x2=0

5x2+10xx2=0

5xx+2x+2=0

x+25x1=0

x+2=05x1=0

x=2 (tm)x=15 (tm)

Vậy để B =45 thì x = -2 hoặc x = 15.

Ví dụ 2: Cho biểu thức P=x2+2x2x+12+x6x+1086x2xx+6

a) Tìm điều kiện xác định của P.

b) Rút gọn P.

c) Tìm x để P = 32.

d) Tìm x để P = 1.

Lời giải:

a) P có nghĩa 2x+120x02xx+60

2x12x0x0;x6x0x6

Vậy để P có nghĩa thì x0 và x6.

b) P=x2+2x2x+12+x6x+1086x2xx+6

P=x2+2x2x+6+x6x+1086x2xx+6

P=xx2+2x2xx+6+x6.2x+62xx+6+1086x2xx+6

P=x3+2x22xx+6+2x2722xx+6+1086x2xx+6

P=x3+2x2+2x272+1086x2xx+6

P=x3+2x2+2x272+1086x2xx+6

P=x3+4x26x+362xx+6

P=x3+216+4x26x+362162xx+6

P=x3+216+4x26x1802xx+6

P=x+6x26x+36+x+64x302xx+6

P=x+6x26x+36+4x302xx+6

P=x+6x26x+36+4x302xx+6

P=x+6x22x+62xx+6

P=x22x+62x

c) Để P =32x22x+62x=32

2x22x+6=2x.3

2x24x+12=6x

2x24x+126x=0

2x210x+12=0

2x25x+6=0

2x22x3x+6=0

2xx23x2=0

2x2x3=0

x2=0x3=0

x=2 (tm)x=3 (tm)

Vậy để P = 32 thì x=2 hoặc x=3.

d) Để P = 1

x22x+62x=1

x22x+6=2x

x22x2x+6=0

x24x+6=0

x24x+4+2=0

x22+2=0 (vô lí)

Ta có: x220x22+22>0 với mọi x thỏa mãn điều kiện.

Vậy không tồn tại x để P = 1.

Dạng 4: Tìm x để phân thức đạt giá trị lớn nhất nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

Cho phân thức AxBx (B(x)0)

Bước 1: Đánh giá giá trị lớn nhất nhỏ nhất của A(x) và B(x)

Bước 2: Đánh giá gá trị lớn nhất nhỏ nhất của AxBx.

Chú ý : Nếu a,b0; a, b cùng dấu thì ab1a1b

Ví dụ:

a) Tìm giá trị lớn nhất của phân thức sau:

A=2x28x+15x24x+6

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau:

B=5x2+8x+20

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau:

C=2x+1x2+2

Lời giải:

a) Ta có:

x24x+6=x24x+4+2=x22+2

x220 với mọi x nên x22+22

Phân thức xác định với mọi x

A=2x28x+15x24x+6

A=2x24x+6+3x24x+6

A=2x24x+6x24x+6+3x24x+6

A=2+3x24x+6

A=2+3x24x+4+2

A=2+3x22+2

Ta có:

x220

x22+22

1x22+212

3x22+232

A=2+3x22+22+32=72

Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0x = 2

Vậy Amax = 72 khi x = 2.

b) x2+8x+20=x2+8x+16+4=x+42+4

x+420 nên x+42+44

Phân thức xác định với mọi x

B=5x2+8x+20=5x2+2.x.4+16+4=5x+42+4

Ta có:

x+420

x+42+44

1x+42+414

5x+42+454

B54

Dấu “=” xảy ra khi x+4=0x=4

Vậy Bmin =54 khi x = -4.

c) Vì x20 nên x2+22

Phân thức xác định với mọi x

C=2x+1x2+2=4x+22x2+2=x2+4x+4x2+22x2+2

=x+222x2+2x2+22x2+2=x+222x2+212

Vì x20x2+2>0

x+220

x+222x2+20

C=x+222x2+212012

C12

Dấu “=” xảy ra khi x + 2 = 0x = -2

Vậy Cmin =12 khi x = -2.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm x để các phân thức sau thỏa mãn:

a) A=x+2x2+1. Tìm x để A > 0

b) B=x2+2x+1x+3. Tìm x để B0

c) C=2x2+7x+6x24x+6. Tìm x để C < 0

d) D=x2+3x+2x2+5. Tìm x để D0.

Bài 2: Tìm x nguyên để các biểu thức sau đây nguyên

a) 2x+5 với x5

b) 3x22x+13x+1 với x13

c) 2x34x2+11x7x4 với x4

d) 5x10x23x+2 với x2;x1.

Bài 3: Cho phân thức Q=x2+10x+25x+5

a) Tìm điều kiện xác định của Q

b) Tìm x khi Q = 1.

Bài 4: Cho phân thức A=x2x+2x5

Tìm x để A < 0.

Bài 5: Cho biểu thức A=x+2x1.x3x+1+28x+7x21

a) Tìm điều kiện xác định của A.

b) Chứng minh rằng A luôn dương với mọi x thỏa mãn điều kiện.

Bài 6: Tìm x nguyên để phân thức N=x2xx3 nhận giá trị nguyên.

Bài 7: Chứng minh rằng: M=3xx3x2+3x2x+33x+9x23x3xx29>0

Với x0;x±3;x32.

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức H=3x22x+3x2+1.

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức M=6x2+x+1.

Bài 10: Cho biểu thức Q=x+22x.1x2x+2x2+10x+4x với x0;x2

Tìm giá trị lớn nhất của Q.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:




Giải bài tập lớp 8 sách mới các môn học