Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và cách giải bài tập (hay, chi tiết)

Trang trước Trang sau

Bài viết Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 8.

I. Lý thuyết

1. Khái niệm:

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức ban đầu thành những phân thức mới với mẫu thức giống nhau.

2. Các bước quy đồng mẫu thức

a) Các bước tìm mẫu thức chung

Bước 1: Phân tích từng mẫu thức thành nhân tử

Bước 2: Chọn ra các nhân tử chung và nhân tử riêng của từng mẫu thức

Bước 3: Nhân các nhân tử chung và các nhân tử riêng có số mũ lớn nhất lại với nhau ta được mẫu thức chung.

b) Các bước quy đồng mẫu thức

Để quy đồng mẫu thức ta làm các bước sau đây

Bước 1: Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

II. Dạng bài tập

Dạng: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.

Phương pháp giải: Làm theo các bước đã được liệt kê ở lí thuyết

Ví dụ: Quy đồng mẫu các phân thức sau.

a) $\frac{3}{x^{2} - 3 x}$ và $\frac{5}{2 x - 6}$ với $x \neq 3$ ; x $\neq$ 0

b) $\frac{11}{9 x^{4} y}$ và $\frac{5}{3 x y^{3}}$ với $x \neq 0; y \neq 0$

c) $\frac{1}{2 x^{2} - 4 x + 2}$ và $\frac{1}{2 x^{2} - 4 x + 2}$ với $x \neq 0; x \neq 1$

d) $\frac{x - 3 y}{x^{2} - 2 x y - 8 y^{2}}$ và $\frac{x - 2 y}{x^{2} - x y - 12 y^{2}}$ với $x \neq - 3 y; x \neq - 2 y; x \neq 4 y$ .

Lời giải:

a) Ta có:

$x^{2} - 3 x = x (x - 3)$

$2 x - 6 = 2 (x - 3)$

Chọn mẫu thức chung là $2 x (x - 3)$

Khi đó:

$\frac{3}{x^{2} - 3 x} = \frac{3.2}{x (x - 3) .2} = \frac{6}{2 x^{2} - 6 x}$

và $\frac{5}{2 x - 6} = \frac{5 x}{(2 x - 6) x} = \frac{5 x}{2 x^{2} - 6 x}$ .

b) Ta chọn mẫu thức chung là $9 x^{4} y^{3}$

Khi đó:

$\frac{11}{9 x^{4} y} = \frac{11. y^{2}}{9 x^{4} y . y^{2}} = \frac{11 y^{2}}{9 x^{4} y^{3}}$

và $\frac{5}{3 x y^{3}} = \frac{5.3 x^{3}}{3 x y^{3} 3 x^{3}} = \frac{15 x^{3}}{9 x^{4} y^{3}}$ .

c) Ta có:

$2 x^{2} - 4 x + 2 = 2. (x^{2} - 2 x + 1) = 2 {(x - 1)}^{2}$

$5 x^{2} - 5 x = 5 x (x - 1)$

Chọn mẫu thức chung: $10 x {(x - 1)}^{2}$

Khi đó:

$\frac{1}{2 x^{2} - 4 x + 2} = \frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} = \frac{1.5 x}{2 {(x - 1)}^{2} .5 x} = \frac{5 x}{10 x {(x - 1)}^{2}}$

và $\frac{3}{5 x^{2} - 5 x} = \frac{3}{5 x (x - 1)} = \frac{3.2 (x - 1)}{5 x (x - 1) .2 (x - 1)} = \frac{6 x - 6}{10 x {(x - 1)}^{2}}$ .

d) Ta có:

$x^{2} - 2 x y - 8 y^{2} = (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 9 y^{2}$

$= {(x - y)}^{2} - {(3 y)}^{2} = (x - y - 3 y) (x - y + 3 y)$

$= (x - 4 y) (x + 2 y)$

$x^{2} - x y - 12 y^{2} = (x^{2} - 9 y^{2}) - (x y + 3 y^{2})$ $= (x - 3 y) (x + 3 y) - y (x + 3 y)$

$= (x - 3 y - y) (x + 3 y)$ $= (x - 4 y) (x + 3 y)$

Chọn mẫu thức chung là $(x - 4 y) (x + 3 y) (x + 2 y)$

Khi đó:

$\frac{x - 3 y}{x^{2} - 2 x y - 8 y^{2}} = \frac{x - 3 y}{(x - 4 y) (x + 2 y)}$

$= \frac{(x - 3 y) . (x + 3 y)}{(x - 4 y) (x + 3 y) (x + 2 y)}$

$= \frac{x^{2} - 9 y^{2}}{(x - 4 y) (x + 3 y) (x + 2 y)}$

và $\frac{x - 2 y}{x^{2} - x y - 12 y^{2}} = \frac{x - 2 y}{(x - 4 y) (x + 3 y)}$

$= \frac{(x - 2 y) . (x + 2 y)}{(x - 4 y) (x + 3 y) (x + 2 y)}$

$= \frac{x^{2} - 4 y^{2}}{(x - 4 y) (x + 3 y) (x + 2 y)}$ .

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\frac{x + 2}{2 x - x^{2}}$ và $\frac{x + 3}{8 - 8 x + 2 x^{2}}$ với $x \neq 0; x \neq 2$

b) $\frac{7 x}{x^{2} - 4 x + 4}$ và $\frac{x}{3 x^{2} - 6 x}$ với $x \neq 0; x \neq 2$

c) $\frac{x^{3}}{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}}$ và $\frac{x}{y^{2} - x y}$ với $x \neq y; y \neq 0$

d) $\frac{1}{x + 1}$ và $\frac{6}{x - x^{2}}$ với $x \neq 0; x \neq \pm 1$

e) $\frac{x + 5}{x^{2} + 8 x + 16}$ và $\frac{x}{3 x + 12}$ với $x \neq - 4$

f) $\frac{6 x^{2}}{x^{3} - 5 x^{2}}$ và $\frac{3 x^{2} + 15 x}{x^{2} - 25}$ với $x \neq 0; x \neq \pm 5$

g) $\frac{4 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64}$ và $\frac{x - 4}{4 x^{3} + 32 x^{2} + 64 x}$ với $x \neq - 4; x \neq 0$

h) $\frac{x}{2 x^{2} + 5 x - 3}$ và $\frac{x}{2 x^{2} + 5 x - 3}$ với $x \neq - 3; x \neq \frac{1}{2}; x \neq 2$ .

Bài 2: Tìm các phân thức mới bằng các phân thức đã cho và chúng có chung mẫu thức:

a) $\frac{10}{x + 3}; \frac{5}{2 x - 6}; \frac{1}{9 - 3 x}$ với $x \neq \pm 3$

b) $\frac{2}{x - 2}; \frac{3}{x + 2}; \frac{- 1}{3 x - 6}$ với $x \neq \pm 2$

c) $\frac{7 x^{2} - 2 x + 5}{x^{3} - 1}; \frac{1 - 3 x}{x^{2} + x + 1}; 5$ với $x \neq 1$

d) $\frac{6 x^{2} - 5 x + 11}{x^{2} - 5 x + 6}; \frac{x - 2}{x - 3}; \frac{1}{x - 2}$ với $x \neq 2; x \neq 3$ .

Bài 3: Quy đồng mẫu thức mỗi phân thức sau

a) $\frac{2 x^{2}}{x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8};$ $\frac{3 x}{x^{2} + 4 x + 4};$ $\frac{5}{2 x + 4}$ với $x \neq - 2$

b) $\frac{x}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - z^{2}};$ $\frac{y}{y^{2} - 2 y z + z^{2} - x^{2}};$ $\frac{z}{x^{2} - 2 x z + z^{2} - y^{2}}$

với $\{\begin{cases} y + z \neq x \\ x + z \neq y \\ y + x \neq z \end{cases}$

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 sách mới các môn học