Lý thuyết Đa thức một biến lớp 7 (hay, chi tiết)

Bài viết Lý thuyết Đa thức một biến lớp 7 hay, chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức trọng tâm Đa thức một biến.

1. Đa thức một biến

   • Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến.

   • Một số được coi là một đa thức một biến.

   • Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

Ví dụ 1: Đa thức 5x⁵ + 4x³ - 2x² + x là đa thức một biến (biến x); bậc của đa thức là 5.

Ví dụ 2: Cho đa thức sau: 5x⁷ - 7x⁶ + 5x⁵ - 4x⁴ + 7x⁶ - 3x² + 1 - 5x⁷ - 3x⁵

Bậc của đa thức đã cho là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Thu gọn đa thức ta được:

Đa thức đã cho có bậc là 5.

2. Sắp xếp một đa thức một biến

Để thuận lợi cho việc tính toán đối với các đa thức một biến, người ta thường sắp xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.

Ví dụ 1: Đối với đa thức P(x) = 6x + 3 - 6x² + x³ + 2x⁴

   + Khi sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm của biến, ta được:

P(x) = 2x⁴ + x³ - 6x² + 6x + 3

   + Khi sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa tăng của biến, ta được:

P(x) = 3 + 6x - 6x² + x³ + 2x⁴

Nhận xét:

Mọi đa thức bậc 2 của biến x, sau khi đã sắp xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa giảm của biến, đều có dạng: ax² + bx + c

Trong đó a,b,c là các số cho trước và a ≠ 0.

Chú ý:

   + Để sắp xếp các hạng tử của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó.

   + Những chữ đại diện cho các số xác định cho trước được gọi là hằng số.

Ví dụ 2: Cho đa thức P(x) = 2 + 5x² - 3x³ + 4x - 2x - x³ + 6x⁵. Thu gọn và sắp xếp đa thức

P(x) = 2 + 5x² - 3x³ + 4x² - 2x - x³ + 6x⁵ = 6x⁵ + (-3x³ - x³) + (5x² + 4x²) - 2x + 2 = 6x⁵ - 4x³ + 9x² - 2x + 2

3. Hệ số

Hệ số của lũy thừa bậc 0 của biến gọi là hệ số tự do; hệ số của lũy thừa cao nhất của biến gọi là hệ số cao nhất.

Ví dụ: Các hệ số của đa thức 6x⁵ - x⁴ + 5x² - x + 2 là 6; -1; 5; -1; 2

Hệ số tự do là: 2

Hệ số cao nhất là: 6

Bài 1: Thu gọn các đa thức sau và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến

a) 2x³ - x⁵ + 3x⁴ + x² - (1/2)x³ + 3x⁵ - 2x² - x⁴ + 1

b) x⁷ - 3x⁴ + 2x³ - x² - x⁴ - x + x⁷ - x³ + 5

Lời giải:

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) x + x² + x³ + x⁴ + .... + x⁹⁹ + x¹⁰⁰ tại x = -1

b) x² + x⁴ + x⁶ + .... + x⁹⁸ + x¹⁰⁰ tại x = -1

Lời giải:

Bài 1. Thu gọn đa thức sau:

Q = $5x^{2}y-3xy+\frac{1}{2}{x}^{2}y-xy+5xy-\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Q = $5x^{2}y-3xy+\frac{1}{2}{x}^{2}y-xy+5xy-\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{4}$

= $\left(5x^{2}y+\frac{1}{2}{x}^{2}y\right)+\left(-3xy-xy+5xy\right)+\left(-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}x\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)$

= $\left(5+\frac{1}{2}\right)x^{2}y+\left(-3-1+5\right)xy+\left(-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)x+\frac{1}{4}$

= $\frac{11}{2}{x}^{2}y+xy+\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}$

Bài 2. Thu gọn đa thức sau:

A = x² + y² + z² + x² – y² + z² + x² + y² – z².

Hướng dẫn giải:

Q = x² + y² + z² + x² – y² + z² + x² + y² – z²

= (x² + x² + x²) + (y² – y² + y²) + (z² – z² + z²)

= 3x² + y² + z².

Bài 3. Thu gọn rồi tính giá trị của đa thức P tại x = 0,5 và y = 1:

P = $\frac{1}{3}{x}^{2}y+x{y}^2-xy+\frac{1}{2}x{y}^2-5xy-\frac{1}{3}{x}^{2}y$

Hướng dẫn giải:

Ta có

P = $\frac{1}{3}{x}^{2}y+x{y}^2-xy+\frac{1}{2}x{y}^2-5xy-\frac{1}{3}{x}^{2}y$

= $0+\left(1+\frac{1}{2}\right)x{y}^2+\left(-1-5\right)xy=\frac{3}{2}x{y}^2-6xy$

Thay x = 0,5 = $\frac{1}{2}$ và y = 1 vào P ta được:

P = $\frac{3}{2}.\frac{1}{2}{.1}^2-6.\frac{1}{2}.1=\frac{3}{4}-3=\frac{-9}{4}$

Vậy P = $-\frac{9}{4}$ khi x = 0,5 và y = 1.

Bài 4. Cho A(x) = $3x^4-\frac{3}{4}{x}^3+2x^2-3$; B(x) = $8x^4+\frac{1}{5}{x}^3-9x+\frac{2}{5}$.

Tính A(x) + B(x).

Hướng dẫn giải:

A(x) + B(x) = $3x^4-\frac{3}{4}{x}^3+2x^2-3+8x^4+\frac{1}{5}{x}^3-9x+\frac{2}{5}$

= $(3x^4+8x^4)+\left(-\frac{3}{4}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^3\right)+2x^2-9x+\left(-3+\frac{2}{5}\right)$

= $11x^4-\frac{11}{20}{x}^3+2x^2-9x-\frac{13}{5}$

Bài 5. Thu gọn các đa thức sau và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến:

a) 2x⁴ – 2x⁵ + x⁴ + x – x³ + 2x⁵ – 5x² – x⁴ + 1;

b) x² – 2x³ + 2x² – x⁷ – x⁴ – x + 2x⁷ – 3x³ + 5.

Hướng dẫn giải:

a) 2x⁴ – 2x⁵ + x⁴ + x – x³ + 2x⁵ – 5x² – x⁴ + 1

= (2x⁴ + x⁴ – x⁴) + (–2x⁵ + 2x⁵) + x − x³ – 5x² + 1

= 2x⁴ + x – x³ – 5x² + 1

= 2x⁴ – x³ – 5x² + x + 1

b) x² – 2x³ + 2x² – x⁷ – x⁴ – x + 2x⁷ – 3x³ + 5

= (x² + 2x²) + (−2x³ – 3x³) + (−x⁷ + 2x⁷) – x⁴ – x + 5

= 3x² – 5x³ + x⁷ – x⁴ – x + 5

= x⁷ – x⁴ – 5x³ + 3x² – x + 5

Bài 6. Cho đa thức A(x) = x² – 4x – 5. Trong các số – 1; 0 và 1, số nào là nghiệm của đa thức A(x)?

Bài 7. Cho hai đa thức:

P(x) = – 2x⁴ – 7x + $\frac{1}{2}$ – 6x⁴ + 2x² – x;

Q(x) = 3x³ – x⁴ – 5x² + x³ – 6x + 9 + x⁴.

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của mỗi đa thức trên.

Bài 8. Tính rồi tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

a) $\left(-\frac{1}{2}x\right).8x^3$;

b) $\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}{x}^2$;

c) $\frac{1}{8}{x}^5.{\left(2x\right)}^3$;

d) $-9x^4+{\left(2x^2\right)}^2$.

Bài 9. Tìm giá trị của đa thức 2x² – 3x + 1 khi x = 4.

Bài 10. Tính tổng và hiệu của các đa thức sau:

a) 3x² + 2x – 7 và 5x² – x + 4;

b) 4x³ + 2x² – 5x + 1 và 2x³ – 3x² + 6x – 2.

Xem thêm các phần lý thuyết, các dạng bài tập Toán lớp 7 có đáp án chi tiết hay khác:

• Lý thuyết Cộng, trừ đa thức một biến
• Bài tập Cộng, trừ đa thức một biến
• Lý thuyết Nghiệm của đa thức một biến
• Bài tập Nghiệm của đa thức một biến
• Tổng hợp Lý thuyết Chương 4 Đại Số 7
• Tổng hợp Trắc nghiệm Chương 2 Đại Số 7

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---