Điểm cực đại của hàm số bậc 2 lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Điểm cực đại của hàm số bậc 2 lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Điểm cực đại của hàm số bậc 2.

1. Định nghĩa điểm cực đại của hàm số bậc hai

Cho hàm số bậc hai y = f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Nếu hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x).

Khi đó, f(x₀) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x) và kí hiệu là f_CĐ hay y_CĐ.

Điểm M₀(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

2. Ví dụ minh họa về điểm cực đại của hàm số bậc hai

Ví dụ 1. Tìm điểm cực đại của các hàm số sau:

a) y = x² + 2x + 3.

b) y = –x² – x + 1.

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: y’ = 2x + 2; y’ = 0 ⇔ x = –1.

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta suy ra hàm số đã cho không có điểm cực đại.

b) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: $y^{\text{'}}=-2x-1;y^{\text{'}}=0\iff x=-\frac{1}{2}.$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta suy ra $x=-\frac{1}{2}$ là điểm cực đại của hàm số đã cho.

Ví dụ 2. Máng trượt của một cầu trượt cho trẻ em (Hình a)) được uốn từ một tấm kim loại có bề rộng 80 cm, mặt cắt có dạng hình chữ nhật được mô tả ở Hình b)). Nhà thiết kế khuyến cáo, diện tích của mặt cắt càng lớn thì càng đảm bảo an toàn cho trẻ em.

a) Gọi S là diện tích mặt cắt. Tìm điều kiện của x và viết công thức tính S theo x.

b) Với x đạt giá trị bằng bao nhiêu thì cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em?

Hướng dẫn giải

a) Do tấm kim loại có bề rộng 80 cm nên ta có: 2x + y = 80 ⇔ y = 80 – 2x.

Để có thể thiết kế được máng trượt thì y > 0 ⇔ 80 – 2x > 0 ⇔ x < 40.

Suy ra 0 < x < 40.

Diện tích của mặt cắt máng trượt là: S = xy = x(80 – 2x) = –2x² + 80x.

b) Ta có: S(x) = –2x² + 80x với x ∈ (0; 40).

S’(x) = –4x + 80.

S’(x) = 0 ⇔ –4x + 80 = 0 ⇔ x = 20.

Bảng biến thiên của hàm số S(x) như sau:

Do đó, hàm số S(x) đại cực đại tại x = 20 và S_CĐ = 800.

Vậy để cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em thì x = 20 (cm).

3. Bài tập về điểm cực đại của hàm số bậc hai

Bài 1. Tìm điểm cực đại của các hàm số sau:

a) y = 2x² + x – 5.

b) y = –4x² – 8x + 3.

Bài 2.Tìm điểm cực đại của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}.$

b) $y=-\frac{3}{10}{x}^2-\frac{9}{10}x.$

Bài 3. Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2 m với vận tốc ban đầu là 24,5 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức

h(t) = 2 + 24,5t – 4,9t².

Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Cực trị hàm tuyến tính là gì

• Điều kiện có tiệm cận ngang

• Điều kiện để phương trình là phương trình mặt cầu

• Cách đổi cận trong tích phân

• Giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm là gì

• Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x)

---