Xét sự biến thiên của hàm số bậc hai (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Xét sự biến thiên của hàm số bậc hai lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xét sự biến thiên của hàm số bậc hai.

1. Phương pháp giải:

Xét hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (a ≠ 0), ta có sự biến thiên như sau:

- Với a > 0

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{-b}{2a}\right)$;

+ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(\frac{-b}{2a};+\infty \right)$;

+ Bảng biến thiên:

- Với a < 0

+ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{-b}{2a}\right)$;

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{-b}{2a};+\infty \right)$;

+ Bảng biến thiên:

2. Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Xét sự biến thiên và lập bảng biến thiên của hàm số y = –x² + 4x + 5.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = –x² + 4x + 5  có a = –1 < 0, b = 4, c = 5

Ta có: $\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2.(-1)}=2$; $-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{{\left(-4\right)}^2-4.(-1).5}{4.(-1)}=9$.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (–∞; 2), nghịch biến trên khoảng (2; +∞).

Bảng biến thiên:

Ví dụ 2. Xét sự biến thiên và lập bảng biến thiên của hàm số y = 2x² + 2x + 1.

 Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = 2x² + 2x + 1 có a = 2 > 0, b = 2, c = 1.

Ta có: $\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2.2}=\frac{-1}{2}$; $\frac{-\Delta }{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{2^2-\mathrm{4.2.1}}{4.2}=\frac{1}{2}$.

Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{-1}{2}\right)$, đồng biến trên khoảng $\left(\frac{-1}{2};+\infty \right)$.

Bảng biến thiên:

3. Bài tập tự luyện.

Bài 1. Hàm số y = x² – 4x + 5 đồng biến trên khoảng:

A. (2; +∞);

B. (–∞; 2);

C. (–2; +∞);

D. (0; +∞).

Bài 2. Hàm số y = –3x² + 6x + 1 đồng biến trên khoảng:

A. (–∞; 2);

B. (2; +∞);

C. (–∞; 1);

D. (1; +∞).

Bài 3. Hàm số y = –x² + 2x – 2 nghịch biến trên khoảng:

A. (–∞; 2);

B. (2; +∞);

C. (–∞; 1);

D. (1; +∞).

Bài 4. Hàm số y = 4x² – 24x – 6 nghịch biến trên khoảng:

A. (–∞; 3);

B. (4; +∞);

C. (–∞; 4);

D. (3; +∞).

Bài 5. Cho hàm số y = x² – 4x – 6. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (–∞; 2);

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (–∞; 4);

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞; 2);

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞; 4).

Bài 6. Cho hàm số y = –x² + 8x – 3. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (–∞; 8);

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (–∞; 4);

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞; 4);

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞; 8).

Bài 7. Cho hàm số y = –x² + 4x – 3. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (–∞; 2) và nghịch biến trên khoảng (2; +∞);

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞; 2) và đồng biến trên khoảng (2; +∞);

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (–∞; 4) và nghịch biến trên khoảng (4; +∞);

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞; 4) và đồng biến trên khoảng (4; +∞).

Bài 8. Cho hàm số y = x² + 6x – 5. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (–∞; 3) và nghịch biến trên khoảng (3; +∞);

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞; –3) và đồng biến trên khoảng (–3; +∞);

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (–∞; –3) và nghịch biến trên khoảng (–3; +∞);

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞; 3) và đồng biến trên khoảng (3; +∞).

Bài 9. Đâu là bảng biến thiên của hàm số y = –x² + 4x – 3 ?

Bài 10. Đâu là bảng biến thiên của hàm số y = x² + 6x – 5 ?

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Cách vẽ và xác định đồ thị hàm số bậc hai

• Tìm công thức của hàm số bậc hai khi biết đồ thị hàm số

• Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bậc hai

• Xác định giá trị của m để hàm số bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất tại một số cho trước

• Ứng dụng của hàm số bậc hai để giải bài toán thực tế

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---