Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng

Trang trước Trang sau

Bài viết Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng.

Cho đường tròn (C1): tâm I1( x1; y1); bán kính R1.

Đường tròn (C2): tâm I2(x2; y2); bán kính R2.

+ Để hai đường tròn này đối xứng với nhau qua điểm M thì M là trung điểm của I1I2 và R1 = R2.

* Nếu cho trước đường tròn ( C1) có tâm I1 bán kính R và điểm M. Để viết được phương tròn ( C2 ) đối xứng với đường tròn (C1) qua M ta cần làm như sau:

- Bước 1: Tìm điểm I2 đối xứng với I1 qua M ( khi đó M là trung điểm I1I2).

- Bước 2: Đường tròn ( C2) tâm I2 và bán kính là R.

⇒ Phương trình đường tròn (C2).

* Cho đường tròn (C1) tâm I1 bán kính R và đường thẳng d. Để viết được đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua d ta cần:

- Bước 1: Xác định điểm I2 đối xứng điểm I1 qua d.

- Bước 2: Lập phương trình đường tròn ( C2) tâm I2 và bán kính R

Ví dụ 1: Cho hai đường tròn ( C1): tâm I1(1; -2) bán kính R1 = 2 và đường tròn (C2):
Tâm I2( 3; 2) bán kính R2 = 2. Tìm tâm phép đối xứng của đường tròn (C1) và ( C2)?

A. M(2; 0)    B. M(4; 0)    C. M( 2; 4)    D. M (-2; -4)

Lời giải

Do hai đường tròn đã cho có R1 = R2 nên tồn tại điểm M để qua điểm M biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Khi đó, M là trung điểm của I1I2. Suy ra tọa độ điểm M là:

Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng ⇒ M( 2 ; 0)

Vậy qua điểm M (2; 0) biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Chọn A.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứngvới đường tròn
(C1): x2 + y2 - 2x = 0. Qua điểm A( 2; -1) ?

A. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 1    B. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 1

C. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 1    D. (x + 3)2 + (y + 2)2 = 1

Lời giải

+ Đường tròn ( C1) có tâm I1 (1; 0) và bán kính R1 = 1.

+ Do đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A nên hai tâm của hai đường tròn đối xứng với nhau qua điểm A đồng thời R1 = R2 = 1.

+ Gọi I2 là tâm của đường tròn ( C2) thì tọa độ điểm I2:

Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng ⇒ I2( 3; -2)

⇒ Phương trình đường tròn ( C2): (x - 3)2 + (y + 2)2 = 1

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 - 8x - 4y - 5 = 0 và điểm M. Qua phép đối xứng tâm M biến đường tròn ( C1) thành đường tròn ( C2) có bán kính R2 . Tính R2?

A. 1    B. 3    C. 5    D. 10

Lời giải

Đường tròn ( C1) có tâm I1( 4; 2) và bán kính R1 = Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng = 5

Qua đối xứng tâm M biến đường tròn ( C1) thành đường tròn (C2)

⇒ Hai đường tròn này có cùng bán kính và hai tâm đối xứng với nhau qua điểm M

⇒ bán kính R2 = R1 = 5.

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 2x - 4y - 1 = 0 và đường tròn
( C2): x2 + y2 - 2x + 6y - 2 = 0. Tìm tâm phép đối xứng biến ( C1) thành ( C2)?

A. ( 1; - 2)    B. ( 2; 3)    C. Không tồn tại    D. Tất cả sai

Lời giải

+ Đường tròn ( C1) có tâm I1 (-1; 2) và bán kính R1 = √6.

+ Đường tròn (C2) có tâm I2(1; -3) và bán kính R2 = √12

⇒ R1 ≠ R2.

⇒ Không có phép đối xứng tâm biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 2x - 6y - 4 = 0 và đường thẳng d: x - 2y - 3 = 0. Viết phương trình đường tròn ( C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua d?

A. (x + 3)2 + (y - 3)2 = 14    B. (x - 2)2 + (y - 5)2 = 14

C. (x - 1)2 + (y + 4)2 = 14    D. (x - 3)2 + (y + 5)2 = 14

Lời giải

+ Đường tròn (C1) có tâm I1( - 1; 3) và bán kính R1 = √14

+ Giả sử đường tròn ( C2) có tâm I2 và bán kính R2.

+ Do hai đường tròn ( C1) và (C2) đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên:

R2 = R1 = √14 và hai tâm I1, I2 đối xứng nhau qua đường thẳng d.

+ Ta tìm điểm I2.

- Đường thẳng I1I2: Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng

⇒ Phương trình I1I2: 2(x + 1) + 1(y - 3) = 0 hay 2x + y - 1 = 0.

- Gọi giao điểm của d và I1I2 là H ⇒ H( 1; - 1).

Khi đó; H là trung điểm của I1I2 nên tọa độ điểm I2:

Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng ⇒ I2( 3; -5)

⇒ Phương trình đường tròn ( C2): (x - 3)2 + (y + 5)2 = 14

Chọn D.

Ví dụ 6: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 8x - 10y - 10 = 0 và đường thẳng d: 5x + 4y = 0. Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua đường thẳng d?

A. x2 + y2 + 10x - 10y - 10 = 0    B. x2 + y2 + 20x - 10y - 10 = 0

C. x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0    D. x2 + y2 + 20x + 10y - 15 = 0

Lời giải

+ Đường tròn (C1): tâm I1( -4; 5).

Ta thấy điểm I1 thuộc đường thẳng d nên phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn (C1) thành chính nó.

⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 + 8x - 10y - 10 = 0.

Chọn A.

Ví dụ 7: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0 và điểm A(5; 10). Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A?

A. x2 + y2 - 10x + 20y - 15 = 0    B. x2 + y2 + 10x - 20y - 15 = 0

C. x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0    D. Tất cả sai

Lời giải

+ Đường tròn ( C1) có tâm I1(5;10)

⇒ Điểm I1 ≡ A.

⇒ Qua đối xứng tâm A biến điểm I1 thành chính nó nên biến đường tròn C1 thành chính nó.

⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0.

Chọn C

Ví dụ 8: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 - 4x - 6y - 2 = 0 và đường thẳng d: 3x - 4y - 9 = 0. Phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn ( C1) thành đường tròn ( C2). Tính I1I2 trong đó I1; I2 lần lượt là tâm của hai đường tròn ( C1); (C2)?

A. 5    B. 6    C. 3    D. 10

Lời giải

+ Đường tròn ( C1) có tâm I1(2;3).

+ Khoảng cách từ I1 đến đường thẳng d:

d(I1; d) = Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng = 3

+ Do hai đường tròn đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên d là đường trung trực của I1I2. Gọi H là giao điểm của I1I2 với đường thẳng d

⇒ d(I1;d) = I1H = I2H = 3

⇒ I1I2 = I1H + HI2 = 3 + 3 = 6

Chọn B

Câu 1: Cho hai đường tròn ( C1): tâm I1(3; 8) bán kính R1 = 6 và đường tròn (C2): Tâm I2( -7; 4) bán kính R2 = 6. Tìm tâm phép đối xứng của đường tròn (C1) và ( C2)?

A. M(2; 0)    B. M(4; 0)    C. M( -2; 6)    D. M (-2; -4)

Lời giải:

Đáp án: C

Do hai đường tròn đã cho có R1 = R2 nên tồn tại điểm M để qua điểm M biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Khi đó, M là trung điểm của I1I2. Suy ra tọa độ điểm M là:

Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng ⇒ M( - 2; 6)

Vậy qua điểm M (-2; 6) biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Câu 2: Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứngvới đường tròn (C1): x2 + y2 + 4y = 0 Qua điểm A(0; 4) ?

A. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 4    B. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4

C. x2 + (y - 10)2 = 4    D. (x + 3)2 + y2 = 4

Lời giải:

Đáp án: C

+ Đường tròn ( C1) có tâm I1 (0; -2) và bán kính R1 = 2.

+ Do đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A nên hai tâm của hai đường tròn đối xứng với nhau qua điểm A đồng thời R1 = R2 = 2.

+ Gọi I2 là tâm của đường tròn ( C2) thì tọa độ điểm I2:

Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng ⇒ I2( 0; 10)

⇒ Phương trình đường tròn ( C2): x2 + (y - 10)2 = 4

Câu 3: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 - 2x + 8y - 8 = 0 và điểm M. Qua phép đối xứng tâm M biến đường tròn ( C1) thành đường tròn ( C2) có bán kính R2. Tính R2?

A. 1    B. 3    C. 5    D. 10

Lời giải:

Đáp án: C

Đường tròn ( C1) có tâm I1(1; -4) và bán kính R1 = Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng = 5

Qua đối xứng tâm M biến đường tròn ( C1) thành đường tròn (C2)

⇒ Hai đường tròn này có cùng bán kính và hai tâm đối xứng với nhau qua điểm M

⇒ bán kính R2 = R1 = 5.

Câu 4: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 8y - 2 = 0 và đường tròn
(C2): x2 + y2 + 2x - 4y - 1 = 0. Tìm tâm phép đối xứng biến ( C1) thành ( C2)?

A. ( 1;-2)    B. ( 2; 3)    C. Không tồn tại    D. Tất cả sai

Lời giải:

Đáp án: C

+ Đường tròn ( C1) có tâm I1 (0; -4) và bán kính R1 = √18

+ Đường tròn (C2) có tâm I2(-1; 2) và bán kính R2 = √6

⇒ R1 ≠ R2.

⇒ Không có phép đối xứng tâm biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Câu 5: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 4x - 4y - 1 = 0 và đường thẳng d: 2x - y - 3 = 0. Viết phương trình đường tròn ( C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua d?

A. (x + 3)2 + (y - 3)2 = 9    B. (x - 2)2 + (y - 5)2 = 9

C. (x - Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng )2 + (y + Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng )2 = 9    D. ( x - Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng )2 + (y + Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng )2 = 9

Lời giải:

Đáp án: D

+ Đường tròn (C1) có tâm I1(-2; 2) và bán kính R1 = 3

+ Giả sử đường tròn ( C2) có tâm I2 và bán kính R2.

+ Do hai đường tròn ( C1) và (C2) đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên:

R2 = R1 = 3 và hai tâm I1, I2 đối xứng nhau qua đường thẳng d.

+ Ta tìm điểm I2.

- Đường thẳng I1I2: Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng

⇒ Phương trình I1I2: 1( x + 2) + 2(y - 2) = 0 hay x + 2y - 2 = 0

- Gọi giao điểm của d và I1I2 là H ⇒ H(Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng ; Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng ).

Khi đó; H là trung điểm của I1I2 nên tọa độ điểm I2:

Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng ⇒ I2(Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng ; - Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng )

⇒ Phương trình đường tròn ( C2): (x - Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng )2 + (y + Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng )2 = 9

Câu 6: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 4x - 4 = 0 và đường thẳng d: x + y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua đường thẳng d?

A. x2 + y2 + 4y - 4 = 0    B. x2 + y2 + 2x - 2y - 6 = 0

C. x2 + y2 + 4x - 4 = 0    D. x2 + y2 + 20x + 10y - 15 = 0

Lời giải:

Đáp án: C

+ Đường tròn (C1): tâm I1 (- 2; 0)

Ta thấy điểm I1 thuộc đường thẳng d nên phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn (C1) thành chính nó.

⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 + 4x - 4 = 0.

Câu 7: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 12x - 8y - 1 = 0 và điểm A(-6; 4). Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A?

A. x2 + y2 + 14x + 8y - 1 = 0    B. x2 + y2 - 12x + 8y - 1 = 0

C. x2 + y2 + 12x - 8y - 1 = 0    D. Tất cả sai

Lời giải:

Đáp án:

+ Đường tròn ( C1) có tâm I1(-6; 4)

⇒ Điểm I1 ≡ A.

⇒ Qua đối xứng tâm A biến điểm I1 thành chính nó nên biến đường tròn C1 thành chính nó.

⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 + 12x – 8y - 1 = 0.

Câu 8: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 – 6x + 2y - 1 = 0 và đường thẳng
d: 3x + 4y + 10 = 0. Phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn ( C1) thành đường tròn ( C2). Tính I1I2 trong đó I1; I2 lần lượt là tâm của hai đường tròn ( C1); (C2)?

A. 5    B. 6    C. 3    D. 10

Lời giải:

Đáp án: B

+ Đường tròn ( C1) có tâm I1(3; -1).

+ Khoảng cách từ I1 đến đường thẳng d:

d(I1; d) = Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng = 3

+ Do hai đường tròn đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên d là đường trung trực của I1I2. Gọi H là giao điểm của I1I2 với đường thẳng d

⇒ d(I1;d) = I1H = I2H = 3

⇒ I1I2 = I1H + HI2 = 3 + 3 = 6

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

Trang trước Trang sau
phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp
Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học