Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng
Bài viết Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng.
- Cách giải bài tập Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng
- Ví dụ minh họa bài tập Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng
- Bài tập vận dụng Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng
Cho đường tròn (C1): tâm I1( x1; y1); bán kính R1.
Đường tròn (C2): tâm I2(x2; y2); bán kính R2.
+ Để hai đường tròn này đối xứng với nhau qua điểm M thì M là trung điểm của I1I2 và R1 = R2.
* Nếu cho trước đường tròn ( C1) có tâm I1 bán kính R và điểm M. Để viết được phương tròn ( C2 ) đối xứng với đường tròn (C1) qua M ta cần làm như sau:
- Bước 1: Tìm điểm I2 đối xứng với I1 qua M ( khi đó M là trung điểm I1I2).
- Bước 2: Đường tròn ( C2) tâm I2 và bán kính là R.
⇒ Phương trình đường tròn (C2).
* Cho đường tròn (C1) tâm I1 bán kính R và đường thẳng d. Để viết được đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua d ta cần:
- Bước 1: Xác định điểm I2 đối xứng điểm I1 qua d.
- Bước 2: Lập phương trình đường tròn ( C2) tâm I2 và bán kính R
Ví dụ 1: Cho hai đường tròn ( C1): tâm I1(1; -2) bán kính R1 = 2 và đường tròn (C2):
Tâm I2( 3; 2) bán kính R2 = 2. Tìm tâm phép đối xứng của đường tròn (C1) và ( C2)?
A. M(2; 0) B. M(4; 0) C. M( 2; 4) D. M (-2; -4)
Lời giải
Do hai đường tròn đã cho có R1 = R2 nên tồn tại điểm M để qua điểm M biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Khi đó, M là trung điểm của I1I2. Suy ra tọa độ điểm M là:
⇒ M( 2 ; 0)
Vậy qua điểm M (2; 0) biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Chọn A.
Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứngvới đường tròn
(C1): x2 + y2 - 2x = 0. Qua điểm A( 2; -1) ?
A. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 1 B. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 1
C. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 1 D. (x + 3)2 + (y + 2)2 = 1
Lời giải
+ Đường tròn ( C1) có tâm I1 (1; 0) và bán kính R1 = 1.
+ Do đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A nên hai tâm của hai đường tròn đối xứng với nhau qua điểm A đồng thời R1 = R2 = 1.
+ Gọi I2 là tâm của đường tròn ( C2) thì tọa độ điểm I2:
⇒ I2( 3; -2)
⇒ Phương trình đường tròn ( C2): (x - 3)2 + (y + 2)2 = 1
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 - 8x - 4y - 5 = 0 và điểm M. Qua phép đối xứng tâm M biến đường tròn ( C1) thành đường tròn ( C2) có bán kính R2 . Tính R2?
A. 1 B. 3 C. 5 D. 10
Lời giải
Đường tròn ( C1) có tâm I1( 4; 2) và bán kính R1 =
= 5
Qua đối xứng tâm M biến đường tròn ( C1) thành đường tròn (C2)
⇒ Hai đường tròn này có cùng bán kính và hai tâm đối xứng với nhau qua điểm M
⇒ bán kính R2 = R1 = 5.
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 2x - 4y - 1 = 0
và đường tròn
( C2): x2 + y2 - 2x + 6y - 2 = 0. Tìm tâm phép đối xứng biến ( C1) thành ( C2)?
A. ( 1; - 2) B. ( 2; 3) C. Không tồn tại D. Tất cả sai
Lời giải
+ Đường tròn ( C1) có tâm I1 (-1; 2) và bán kính R1 = √6.
+ Đường tròn (C2) có tâm I2(1; -3) và bán kính R2 = √12
⇒ R1 ≠ R2.
⇒ Không có phép đối xứng tâm biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Chọn C.
Ví dụ 5: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 2x - 6y - 4 = 0 và đường thẳng d: x - 2y - 3 = 0. Viết phương trình đường tròn ( C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua d?
A. (x + 3)2 + (y - 3)2 = 14 B. (x - 2)2 + (y - 5)2 = 14
C. (x - 1)2 + (y + 4)2 = 14 D. (x - 3)2 + (y + 5)2 = 14
Lời giải
+ Đường tròn (C1) có tâm I1( - 1; 3) và bán kính R1 = √14
+ Giả sử đường tròn ( C2) có tâm I2 và bán kính R2.
+ Do hai đường tròn ( C1) và (C2) đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên:
R2 = R1 = √14 và hai tâm I1, I2 đối xứng nhau qua đường thẳng d.
+ Ta tìm điểm I2.
- Đường thẳng I1I2: 
⇒ Phương trình I1I2: 2(x + 1) + 1(y - 3) = 0 hay 2x + y - 1 = 0.
- Gọi giao điểm của d và I1I2 là H ⇒ H( 1; - 1).
Khi đó; H là trung điểm của I1I2 nên tọa độ điểm I2:
⇒ I2( 3; -5)
⇒ Phương trình đường tròn ( C2): (x - 3)2 + (y + 5)2 = 14
Chọn D.
Ví dụ 6: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 8x - 10y - 10 = 0 và đường thẳng d: 5x + 4y = 0. Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua đường thẳng d?
A. x2 + y2 + 10x - 10y - 10 = 0 B. x2 + y2 + 20x - 10y - 10 = 0
C. x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0 D. x2 + y2 + 20x + 10y - 15 = 0
Lời giải
+ Đường tròn (C1): tâm I1( -4; 5).
Ta thấy điểm I1 thuộc đường thẳng d nên phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn (C1) thành chính nó.
⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 + 8x - 10y - 10 = 0.
Chọn A.
Ví dụ 7: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0 và điểm A(5; 10). Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A?
A. x2 + y2 - 10x + 20y - 15 = 0 B. x2 + y2 + 10x - 20y - 15 = 0
C. x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0 D. Tất cả sai
Lời giải
+ Đường tròn ( C1) có tâm I1(5;10)
⇒ Điểm I1 ≡ A.
⇒ Qua đối xứng tâm A biến điểm I1 thành chính nó nên biến đường tròn C1 thành chính nó.
⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0.
Chọn C
Ví dụ 8: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 - 4x - 6y - 2 = 0 và đường thẳng d: 3x - 4y - 9 = 0. Phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn ( C1) thành đường tròn ( C2). Tính I1I2 trong đó I1; I2 lần lượt là tâm của hai đường tròn ( C1); (C2)?
A. 5 B. 6 C. 3 D. 10
Lời giải
+ Đường tròn ( C1) có tâm I1(2;3).
+ Khoảng cách từ I1 đến đường thẳng d:
d(I1; d) = 
= 3
+ Do hai đường tròn đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên d là đường trung trực của I1I2. Gọi H là giao điểm của I1I2 với đường thẳng d
⇒ d(I1;d) = I1H = I2H = 3
⇒ I1I2 = I1H + HI2 = 3 + 3 = 6
Chọn B
Câu 1: Cho hai đường tròn ( C1): tâm I1(3; 8) bán kính R1 = 6 và đường tròn (C2): Tâm I2( -7; 4) bán kính R2 = 6. Tìm tâm phép đối xứng của đường tròn (C1) và ( C2)?
A. M(2; 0) B. M(4; 0) C. M( -2; 6) D. M (-2; -4)
Lời giải:
Đáp án: C
Do hai đường tròn đã cho có R1 = R2 nên tồn tại điểm M để qua điểm M biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Khi đó, M là trung điểm của I1I2. Suy ra tọa độ điểm M là:
⇒ M( - 2; 6)
Vậy qua điểm M (-2; 6) biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Câu 2: Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứngvới đường tròn (C1): x2 + y2 + 4y = 0 Qua điểm A(0; 4) ?
A. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 4 B. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4
C. x2 + (y - 10)2 = 4 D. (x + 3)2 + y2 = 4
Lời giải:
Đáp án: C
+ Đường tròn ( C1) có tâm I1 (0; -2) và bán kính R1 = 2.
+ Do đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A nên hai tâm của hai đường tròn đối xứng với nhau qua điểm A đồng thời R1 = R2 = 2.
+ Gọi I2 là tâm của đường tròn ( C2) thì tọa độ điểm I2:
⇒ I2( 0; 10)
⇒ Phương trình đường tròn ( C2): x2 + (y - 10)2 = 4
Câu 3: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 - 2x + 8y - 8 = 0 và điểm M. Qua phép đối xứng tâm M biến đường tròn ( C1) thành đường tròn ( C2) có bán kính R2. Tính R2?
A. 1 B. 3 C. 5 D. 10
Lời giải:
Đáp án: C
Đường tròn ( C1) có tâm I1(1; -4) và bán kính R1 =
= 5
Qua đối xứng tâm M biến đường tròn ( C1) thành đường tròn (C2)
⇒ Hai đường tròn này có cùng bán kính và hai tâm đối xứng với nhau qua điểm M
⇒ bán kính R2 = R1 = 5.
Câu 4: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 8y - 2 = 0 và đường tròn
(C2): x2 + y2 + 2x - 4y - 1 = 0. Tìm tâm phép đối xứng biến ( C1) thành ( C2)?
A. ( 1;-2) B. ( 2; 3) C. Không tồn tại D. Tất cả sai
Lời giải:
Đáp án: C
+ Đường tròn ( C1) có tâm I1 (0; -4) và bán kính R1 = √18
+ Đường tròn (C2) có tâm I2(-1; 2) và bán kính R2 = √6
⇒ R1 ≠ R2.
⇒ Không có phép đối xứng tâm biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Câu 5: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 4x - 4y - 1 = 0 và đường thẳng d: 2x - y - 3 = 0. Viết phương trình đường tròn ( C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua d?
A. (x + 3)2 + (y - 3)2 = 9 B. (x - 2)2 + (y - 5)2 = 9
C. (x - 
)2 + (y + 
)2 = 9
D. ( x - 
)2 + (y + 
)2 = 9
Lời giải:
Đáp án: D
+ Đường tròn (C1) có tâm I1(-2; 2) và bán kính R1 = 3
+ Giả sử đường tròn ( C2) có tâm I2 và bán kính R2.
+ Do hai đường tròn ( C1) và (C2) đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên:
R2 = R1 = 3 và hai tâm I1, I2 đối xứng nhau qua đường thẳng d.
+ Ta tìm điểm I2.
- Đường thẳng I1I2: 
⇒ Phương trình I1I2: 1( x + 2) + 2(y - 2) = 0 hay x + 2y - 2 = 0
- Gọi giao điểm của d và I1I2 là H ⇒ H(
; 
).
Khi đó; H là trung điểm của I1I2 nên tọa độ điểm I2:
⇒ I2(
; -
)
⇒ Phương trình đường tròn ( C2): (x -
)2 + (y +
)2 = 9
Câu 6: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 4x - 4 = 0 và đường thẳng d: x + y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua đường thẳng d?
A. x2 + y2 + 4y - 4 = 0 B. x2 + y2 + 2x - 2y - 6 = 0
C. x2 + y2 + 4x - 4 = 0 D. x2 + y2 + 20x + 10y - 15 = 0
Lời giải:
Đáp án: C
+ Đường tròn (C1): tâm I1 (- 2; 0)
Ta thấy điểm I1 thuộc đường thẳng d nên phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn (C1) thành chính nó.
⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 + 4x - 4 = 0.
Câu 7: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 12x - 8y - 1 = 0 và điểm A(-6; 4). Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A?
A. x2 + y2 + 14x + 8y - 1 = 0 B. x2 + y2 - 12x + 8y - 1 = 0
C. x2 + y2 + 12x - 8y - 1 = 0 D. Tất cả sai
Lời giải:
Đáp án:
+ Đường tròn ( C1) có tâm I1(-6; 4)
⇒ Điểm I1 ≡ A.
⇒ Qua đối xứng tâm A biến điểm I1 thành chính nó nên biến đường tròn C1 thành chính nó.
⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 + 12x – 8y - 1 = 0.
Câu 8: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 – 6x + 2y - 1 = 0 và
đường thẳng
d: 3x + 4y + 10 = 0. Phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn ( C1) thành đường tròn
( C2). Tính I1I2 trong đó I1; I2 lần lượt là tâm của hai đường tròn
( C1); (C2)?
A. 5 B. 6 C. 3 D. 10
Lời giải:
Đáp án: B
+ Đường tròn ( C1) có tâm I1(3; -1).
+ Khoảng cách từ I1 đến đường thẳng d:
d(I1; d) = 
= 3
+ Do hai đường tròn đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên d là đường trung trực của I1I2. Gọi H là giao điểm của I1I2 với đường thẳng d
⇒ d(I1;d) = I1H = I2H = 3
⇒ I1I2 = I1H + HI2 = 3 + 3 = 6
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác)
- Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm
- Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn
- Lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước
- Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng
Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
- Giải Tiếng Anh 10 Global Success
- Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
- Lớp 10 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 10 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - KNTT
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - KNTT
- Giải sgk Toán 10 - KNTT
- Giải sgk Vật lí 10 - KNTT
- Giải sgk Hóa học 10 - KNTT
- Giải sgk Sinh học 10 - KNTT
- Giải sgk Địa lí 10 - KNTT
- Giải sgk Lịch sử 10 - KNTT
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - KNTT
- Giải sgk Tin học 10 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 10 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - KNTT
- Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 10 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - CTST
- Giải Toán 10 - CTST
- Giải sgk Vật lí 10 - CTST
- Giải sgk Hóa học 10 - CTST
- Giải sgk Sinh học 10 - CTST
- Giải sgk Địa lí 10 - CTST
- Giải sgk Lịch sử 10 - CTST
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - CTST
- Lớp 10 - Cánh diều
- Soạn văn 10 (hay nhất) - Cánh diều
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - Cánh diều
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - Cánh diều
- Giải sgk Toán 10 - Cánh diều
- Giải sgk Vật lí 10 - Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Địa lí 10 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch sử 10 - Cánh diều
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 10 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - Cánh diều