Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua 1 điểm

Bài viết Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua 1 điểm với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua 1 điểm.

Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M(x₀; y₀) . Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M :

- Nếu điểm M ∈ d thì đường thẳng d’ trùng với đường thẳng d.

- Nếu điểm M không thuộc d; ta làm như sau :

+ Bước 1: Do đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M nên d’//d

⇒ đường thẳng d’ có dạng : ax + by + c’ = 0 ( c’ ≠ c)

+ Bước 2: Lấy một điểm A thuộc d. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua M .

Khi đó điểm A’ thuộc đường thẳng d’.

+ Bước 3: Thay tọa độ điểm A’vào phương trình đường thẳng d’ ta tìm được c’. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d’.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: 2x + 3y - 2 = 0 và điểm M( 2; -1). Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M .

A. 2x + 3y = 0    B. 2x + 3y - 1 = 0    C. 2x + 3y + 2 = 0    D. 2x + 3y - 4 = 0

Lời giải

+ Do đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M nên đường thẳng d’ song song với đường thẳng d.

⇒ Đường thẳng d’ có dạng: 2x + 3y + c = 0 ( c ≠ -2) .

+ Lấy điểm A(1; 0) thuộc đường thẳng d.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua M thì M là trung điểm của AA’

⇒ Tọa độ điểm A’ : ⇒ A’(3; -2)

+ Vì điểm A’ thuộc đường thẳng d’nên thay tọa độ điểm A’ vào đường thẳng d’ ta được :

2.3 + 3.(-2) + c = 0 ⇔ c = 0 .

Vậy phương trình đường thẳng d’là 2x + 3y = 0

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x - y + 2 = 0 và điểm M (1; 3) .Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M ?

A. x - y = 0    B. x - y + 2 = 0    C. x - y + 3 = 0    D. x - y - 4 = 0

Lời giải

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được :

    1 - 3 + 2 = 0 ( đúng )

⇒ Điểm M thuộc đường thẳng d.

⇒ Phép đối xứng qua điểm M biến đường thẳng d thành chính nó.

Vậy phương trình đường thẳng d’ cần tìm là d’ ≡ d: x - y + 2 = 0

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: 3x + y - 4 = 0 và điểm M( 0; 2). Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M .

A. 3x + y + 4 = 0    B. 3x + y - 1 = 0    C. 3x + y = 0    D. 3x + y - 4 = 0

Lời giải

+ Do đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M nên đường thẳng d’ song song với đường thẳng d.

⇒ Đường thẳng d’có dạng: 3x + y + c = 0 ( c ≠ - 4) .

+ Lấy điểm A(0; 4) thuộc đường thẳng d.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua M thì M là trung điểm của AA’

⇒ Tọa độ điểm A’: ⇒ A’(0; 0 )

+ Vì điểm A’ thuộc đường thẳng d’nên thay tọa độ điểm A’ vào đường thẳng d’ ta được : 3.0 + 0 + c ⇔ c = 0 .

Vậy phương trình đường thẳng d’ là 3x + y = 0

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho đường thẳng d: x - y + 4 = 0 và đường thẳng d’: . Hỏi có bao nhiêu điểm M thỏa mãn qua đối xứng tâm M biến đường thẳng d thành đường thẳng d’.

A. 0    B. 1.    C. 2    D. Vô số

Lời giải

+ Ta đưa đường thẳng d’ về dạng tổng quát:

Đường thẳng ( d’) :

⇒ Phương trình ( d) : 1(x - 0) - 1(y - 4) = 0 hay x - y + 4 = 0.

⇒ đường thẳng d trùng với đường thẳng d’.

+ Để qua đối xứng tâm M biến đường thẳng d thành d’ - tức là biến đường thẳng d thành chính nó thì điểm M phải nằm trên đường thẳng d.

⇒ Có vô số điểm M thỏa mãn đầu bài- đó là các điểm nằm trên đường thẳng d.

Chọn D.

Ví dụ 5 : Cho đường thẳng d: 2x + 3y - 6 = 0 và đường thẳng d’. 2x + 3y + 8 = 0 . Có điểm M sao cho qua đối xứng tâm M biến đường thẳng d thành đường thẳng d’. Hỏi điểm M thuộc đường thẳng nào?

A. 2x + 3y + 1 = 0    B. 2x + 3y + 2 = 0    C. 2x - 3y - 2 = 0    D. 2x - 3y = 0

Lời giải

Gọi tọa độ điểm M (a; b).

+ Lấy điểm A( 3; 0) thuộc đường thẳng d,

+ Gọi điểm A’ đối xứng với A qua M . Khi đó A’ thuộc đường thẳng d’.

+ Ta có M là trung điểm AA’ nên ta có tọa độ của A’ và B’ là

+ Mà A’( 2a - 3; 2b) ; thuộc đường thẳng d’: 2x + 3y + 8 = 0 nên thay tọa độ điểm này vào phương trình d’ ta được :

2(2a - 3) + 3.2b + 8 = 0 hay 4a + 6b + 2 ⇔ 2a + 3b + 1 = 0

⇒ Điểm M thuộc đường thẳng 2x + 3y + 1 = 0

Chọn A.

Ví dụ 6: Cho đường thẳng d: 3x - y + 9 = 0 và điểm M( 2; -1). Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M .

A. 3x - y = 0    B. 3x - y - 1 = 0    C. 3x - y + 2 = 0    D. 3x - y - 23 = 0

Lời giải

+ Do đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M nên đường thẳng d’ song song với đường thẳng d.

⇒ Đường thẳng d’có dạng: 3x - y + c = 0 ( c ≠ 9) .

+ Lấy điểm A(- 3; 0) thuộc đường thẳng d.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua M thì M là trung điểm của AA’

⇒ Tọa độ điểm A’: ⇒ A’(7; -2)

+ Vì điểm A’ thuộc đường thẳng d’nên thay tọa độ điểm A’ vào đường thẳng d’ta được : 3.7 - (-2) + c = 0 ⇔ c = - 23 .

Vậy phương trình đường thẳng d’là 3x - y - 23 = 0

Chọn D.

Ví dụ 7: Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d: 2x - 5y + 10 = 0 qua điểm A( 5; 4)?

A. 2x - 5y + 20 = 0    B. 2x - 5y + 1 = 0    C. 2x - 5y + 10 = 0    D. 2x - 5y + 8 = 0

Lời giải

+ Ta có: 2.5 - 5.4 + 10 = 0

⇒ điểm A thuộc đường thẳng d.

⇒ Qua phép đối xứng tâm A biến đường thẳng d thành chính nó.

Chọn C.

Ví dụ 8 : Cho hai đường thẳng d₁ : x + y - 1 = 0 ; d₂ : x - 3y + 3 = 0. Phương trình đường thẳng d đối xứng với d₁ qua đường thẳng d₂ là:

A. x - 7y + 1 = 0    B. x + 7y + 1 = 0    C. 7x + y + 1 = 0    D. 7x - y + 1 = 0

Lời giải:

+ Giao điểm của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ

⇒ A(0; 1)

Lấy M(1; 0) ∈ d₁ . Tìm M’ đối xứng M qua d₂

+ Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với d₂:

∆:

⇒ Phương trình ∆: 3(x - 1) + 1(y - 0) = 0 hay 3x + y - 3 = 0

+ Gọi H là giao điểm của ∆ và đường thẳng d₂. Tọa độ H là nghiệm của hệ

+Ta có H là trung điểm của MM’. Từ đó suy ra tọa độ

+Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A và M’ : điểm đi qua A(0 ;1), vectơ chỉ phương vectơ pháp tuyến

Chọn D.

Câu 1: Cho đường thẳng d: 2x - 5y + 10= 0 và điểm M( 1; 1). Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M .

A. 2x - 5y = 0    B. 2x - 5y + 1 = 0    C. 2x - 5y - 4 = 0    D. 2x - 5y + 4 = 0

Lời giải:

Đáp án: C

+ Do đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M nên đường thẳng d’ song song với đường thẳng d.

⇒ Đường thẳng d’có dạng: 2x - 5y + c = 0 ( c ≠ 10) .

+ Lấy điểm A(0; 2) thuộc đường thẳng d.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua M thì M là trung điểm của AA’

⇒ Tọa độ điểm A’: ⇒ A’(2; 0 )

+ Vì điểm A’ thuộc đường thẳng d’nên thay tọa độ điểm A’ vào đường thẳng d’ ta được : 2.2 - 5.0 + c ⇔ c = - 4 .

Vậy phương trình đường thẳng d’là 2x - 5y - 4 = 0

Câu 2: Cho đường thẳng d: x + 3y - 6 = 0 và đường thẳng d’: x + 3y - 2 = 0 . Có điểm M sao cho qua đối xứng tâm M biến đường thẳng d thành đường thẳng d’. Hỏi điểm M thuộc đường thẳng nào?

A. x + 3y - 4 = 0    B. x + 3y + 2 = 0    C. x - 3y - 2 = 0    D. x - 3y = 0

Lời giải:

Đáp án: A

Gọi tọa độ điểm M (a; b).

+ Lấy điểm A( 3; 1) thuộc đường thẳng d,

+ Gọi điểm A’ đối xứng với A qua M . Khi đó A’ thuộc đường thẳng d’.

+ Ta có M là trung điểm AA’ nên ta có tọa độ của A’ và B’ là

+ Mà A’( 2a - 3; 2b - 1) ; thuộc đường thẳng d’: x + 3y - 2 = 0 nên thay tọa độ điểm này vào phương trình d’ ta được :

2a - 3 + 3(2b - 1) – 2 = 0 hay 2a + 6b - 8 = 0 ⇔ a + 3b - 4 = 0

⇒ Điểm M thuộc đường thẳng x + 3y - 4 = 0

Câu 3: Cho đường thẳng d: và đường thẳng d’: . Hỏi có bao nhiêu điểm M thỏa mãn qua đối xứng tâm M biến đường thẳng d thành đường thẳng d’.

A. 0    B. 1.    C. 2    D. Vô số

Lời giải:

Đáp án: D

+ Đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d)

⇒ Phương trình đường thẳng d: 3( x – 1) + 4( y + 3) = 0

Hay 3x + 4y + 9 = 0

+ Ta đưa đường thẳng d’ về dạng tổng quát:

Đường thẳng ( d’) :

⇒ Phương trình ( d) : 3(x + 3) + 4(y - 0) = 0 hay 3x + 4y + 9 = 0.

⇒ đường thẳng d trùng với đường thẳng d’.

+ Để qua đối xứng tâm M biến đường thẳng d thành d’- tức là biến đường thẳng d thành chính nó thì điểm M phải nằm trên đường thẳng d.

⇒ Có vô số điểm M thỏa mãn đầu bài- đó là các điểm nằm trên đường thẳng d.

Câu 4: Cho đường thẳng d: x - 5y + 5 = 0 và điểm M ( 5; 2) .Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M ?

A. x - 5y = 0    B. x - 5y + 2 = 0    C. x - 5y + 3 = 0    D. x - 5y + 5 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được :

    5 - 5.2 + 5 = 0 ( đúng )

⇒ Điểm M thuộc đường thẳng d.

⇒ Phép đối xứng qua điểm M biến đường thẳng d thành chính nó.

Vậy phương trình đường thẳng d’ cần tìm là d’ ≡d: x - 5y + 5 = 0

Câu 5: Cho đường thẳng d: 4x - y + 8 = 0 và điểm M( 2; -1). Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M .

A. 4x - y - 26 = 0    B. 4x - y - 10 = 0    C. 4x - y + 20 = 0    D. 4x - y - 4 = 0

Lời giải:

Đáp án: A

+ Do đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M nên đường thẳng d’ song song với đường thẳng d.

⇒ Đường thẳng d’có dạng: 4x - y + c = 0 ( c ≠ 8 ) .

+ Lấy điểm A(-2; 0) thuộc đường thẳng d.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua M thì M là trung điểm của AA’

⇒ Tọa độ điểm A’: ⇒ A’(6; -2)

+ Vì điểm A’ thuộc đường thẳng d’ nên thay tọa độ điểm A’ vào đường thẳng d’ ta được : 4.6 - (-2) + c = 0 ⇔ c = - 26.

Vậy phương trình đường thẳng d’là 4x - y - 26 = 0

Câu 6: Cho đường thẳng d: và điểm M ( 7; -4) .Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M ?

A. 2x - 3y - 4 = 0    B. 2x - 3y = 0    C. 2x + 3y + 4 = 0    D. 2x + 3y - 2 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được :

⇒ t= 2

⇒ Điểm M thuộc đường thẳng d.

⇒ Phép đối xứng qua điểm M biến đường thẳng d thành chính nó.

Vậy phương trình đường thẳng d’ cần tìm là d’ ≡d.

Ta viết đường thẳng d về dạng tổng quát:

( d) :

⇒ Phương trình đường thẳng d: 2( x - 1) + 3( y - 0) = 0 hay 2x + 3y - 2 = 0

Câu 7: Cho đường thẳng (d): x - 2y + 3 = 0 và A(3; 4). Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho AM= 5?

A. M( 1; -1)    B. M( ; )    C. M(-1; 1)    D. Cả B và C đúng

Lời giải:

Đáp án: D

Gọi tọa độ điểm M(a;b).

Do M thuộc d nên a - 2b + 3 = 0 (1).

Khoảng cách hai điểm A và M là: AM= = 5

⇔ (a - 3)² + ( b - 4)² = 25 (2)

Từ (1) suy ra: a = 2b - 3 thế vào ( 2) ta được: ( 2b - 3 - 3)² + (b - 4)²= 25

⇔ ( 2b - 6)² + (b - 4)² = 25

⇔ 4b² – 24b + 36 + b² - 8b + 16 - 25 = 0

⇔ 5b² - 32b + 27 = 0 ⇔ b = 1 hoặc b =

+ Với b = 1 thì a = - 1 ⇒ M(-1; 1)

+ Với b = ⇒ a = ⇒ M( ; )

Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M( -1; 1) và M( ; )

Câu 8: Cho hai đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0 và ∆: x + 3y - 2 = 0. Phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua ∆ là:

A. 11x + 13y - 2 = 0    B. 11x - 2y + 13 = 0    C. 13x - 11y + 2 = 0    D. 11x + 2y - 13 = 0

Lời giải:

Đáp án: B

+ Giao điểm của d và ∆ là nghiệm của hệ

⇒ A( - 1; 1)

+Lấy M(0; 3) ∈ d . Tìm M’ đối xứng M qua ∆

Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với ∆:

+Gọi H là giao điểm của ∆’ và đường thẳng ∆. Tọa độ H là nghiệm của hệ

+ Ta có H là trung điểm của MM’.

Từ đó suy ra tọa độ

+ Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua 2 điểm A và M’: điểm đi qua A(-1 ;1), vectơ chỉ phương vectơ pháp tuyến

d' : (x + 1) - (y - 1) = 0 ⇔ 11x - 2y + 13 = 0

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
• Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
• Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
• Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3