Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

1. Phương pháp giải

Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng:

∆₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và ∆₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂.

Để giải được bài toán trên, ta có 2 cách sau:

Cách 1. Quy về bài toán giải hệ gồm hai phương trình.

Bước 1. Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=0.\end{array}\right.\left(*\right)$

Bước 2. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂.

⦁ Hệ (*) có nghiệm duy nhất (x₀; y₀) thì ∆₁ cắt ∆₂ tại điểm M(x₀; y₀).

⦁ Hệ (*) vô nghiệm thì ∆₁ song song với ∆₂.

⦁ Hệ (*) vô số nghiệm thì ∆₁ trùng ∆₂.

Cách 2. Sử dụng vectơ pháp tuyến/ vectơ chỉ phương của hai đường thẳng.

Bước 1. Xác định vectơ pháp tuyến (VTPT) của mỗi đường thẳng:

− Đường thẳng d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 → VTPT là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(a_1;b_1\right).$

− Đường thẳng d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 → VTPT là ${\overrightarrow{n}}_2=\left(a_2;b_2\right).$

Bước 2. Tính giá trị a₁b₂ – a₂b₁, sau đó xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:

− Nếu a₁b₂ – a₂b₁ = 0 thì ${\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2$ cùng phương.

Khi đó d_1­, d₂ song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm M tùy ý trên d₁.

      ⦁ Nếu M ∈ d₂, d₁ ≡ d₂;

      ⦁ Nếu M ∉ d₂ thì d₁ // d₂.

− Nếu a₁b₂ – a₂b₁ ≠ 0 thì ${\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2$ không cùng phương.

Khi đó d₁ cắt d₂ tại một điểm có tọa độ (x₀; y₀) với (x₀; y₀) là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=0.\end{array}\right.$

Chú ý:

− Đặc biệt $d_1\perp d_2\iff {\overrightarrow{n}}_1\perp {\overrightarrow{n}}_2\iff {\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2=0\iff a_1{a}_2+b_1{b}_2=0.$

− Với trường hợp a₂.b₂.c₂ ≠ 0, khi đó

+ Nếu $\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$ thì hai đường thẳng cắt nhau.

+ Nếu $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$ thì hai đường thẳng song song nhau.

+ Nếu $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ thì hai đường thẳng trùng nhau.

− Khi phương trình hai đường thẳng cho dưới dạng phương trình tham số/ phương trình đoạn chắn thì ta cũng xét hai vectơ chỉ phương tương ứng.

− Ta chỉ xét đồng thời hai vectơ pháp tuyến hoặc hai vectơ chỉ phương tướng ứng của hai đường thẳng đối với Cách 2.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: 2x – y + 1 = 0 và d₂: 2x – y + 5 = 0. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁ và d₂.

Hướng dẫn giải:

Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm hệ phương trình:

 $\left\{\begin{array}{l}2x-y+1=0\\ 2x-y+5=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-y=-1\\ 2x-y=-5\end{array}\right.$.

Dễ thấy hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy đường thẳng d₁ song song với d₂.

Ví dụ 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁: 2x + y + 15 = 0 và d₂: x – 2y – 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1=\left(2;1\right)$.

Đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2=\left(1;-2\right)$.

Ta có ${\overrightarrow{n}}_1.{\overrightarrow{n}}_2=2.1+1.\left(-2\right)=0$.

Vậy d₁ và d₂ vuông góc với nhau.

Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng lần lượt có phương trình d₁: $\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=2$ và d₂: 6x – 2y – 8 = 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=2\iff 3x-2y-12=0.$

Do $\frac{3}{6}\ne \frac{-2}{-2}$ nên hai đường thẳng cắt nhau.

Lại có 3.6 + (–2).(–2) = 22 ≠ 0 nên hai đường thẳng không vuông góc với nhau.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: x + y – 3 = 0 và d₂: 2x + y – 3 = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. d₁ // d₂;

B. d₁ trùng d₂;

C. d₁, d₂ cắt nhau và không vuông góc;

D. d₁ ⊥ d₂.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}{l}x=-3+4t\\ y=2-6t\end{array}\right.$ và $d_2:\left\{\begin{array}{l}x=2-2t^{\text{'}}\\ y=-8+4t^{\text{'}}\end{array}\right..$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. d₁ // d₂;

B. d₁ trùng d₂;

C. d₁, d₂ cắt nhau và không vuông góc;

D. d₁ ⊥ d₂.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d: x – 2y – 1 = 0 song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. x + 2y + 1 = 0;

B. 2x – y = 0;

C. – x + 2y + 1 = 0;

D. – 2x + 4y – 1 = 0.

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d₁: 7x – 3y + 16 = 0 và d₂: x + 10 = 0 là

A. A(–10; –18);

B. B(10; 18);

C. C(–10; 18);

D. D(10; –18).

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=-3+4t\\ y=2+5t\end{array}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=1+4t^{\text{'}}\\ y=7-5t^{\text{'}}\end{array}\right.$ là

A. (1; 7);

B. (–3; 2);

C. (2; –3);

D. (5; 1);

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d₁: (m – 3)x + 2y + m² – 1 = 0 và d₂: –x + my + m² – 2m + 1 = 0 cắt nhau?

A. m ≠ 1;

B. m ≠ 1 và m ≠ 2;

C. m ≠ 2;

D. m ≠ 1 hoặc m ≠ 2.

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=8-\left(m+1\right)t\\ y=10+t\end{array}\right.$ và d₂: mx + 2y – 14  = 0 song song?

A. m = 1 hoặc m = –2;

B. m = 1;

C. m = – 2;

D. Không có giá trị nào của m.

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=m+2t\\ y=1+\left(m^2+1\right)t\end{array}\right.$ và ${\Delta }_2:\left\{\begin{array}{l}x=1+mt\\ y=m+t\end{array}\right.$ trùng nhau?

A. Không có giá trị nào của m;

B. $m=\frac{4}{3}$;

C. m = 1;

D. m = – 3.

Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình d₁: 3x – 4y + 15 = 0, d₂: 5x + 2y – 1 = 0 và d₃: mx – (2m – 1)y + 9m – 13 = 0. Tất cả các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm là

A. $m=\frac{1}{5};$

B. $m=-5;$

C. $m=-\frac{1}{5};$

D. m = 5.

Bài 10. Giá trị a để hai đường thẳng d₁: ax + 3y – 4 = 0 và $d_2:\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=3+3t\end{array}\right.$ cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành là

A. a = 1;

B. a = –1;

C. a = 2;

D. a = –2.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc

• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

• Xác định tâm và bán kính của đường tròn

• Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

• Lập phương trình đường tròn

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---