Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc.

1. Phương pháp giải

Bài toán: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(x₀; y₀) và tạo với đường thẳng ∆ một góc α cho trước

Để giải được bài toán trên, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Gọi $\overrightarrow{n}\left(A;B\right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d (với A² + B² ≠ 0).

Tìm vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n^{\text{'}}}\left(A^{\text{'}};B^{\text{'}}\right)$ của đường thẳng ∆.

Bước 2. Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng d và ∆ ta có:

$\cos \alpha =\frac{\left|A{A}^{\text{'}}+B{B}^{\text{'}}\right|}{\sqrt{A^2+B^2}\cdot \sqrt{{A^{\text{'}}}^2+{B^{\text{'}}}^2}}.$

Giải phương trình trên ta được A = kB. Ta chọn B, suy ra A.

Bước 3. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(x₀; y₀) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}\left(A;B\right).$

Chú ý: Nếu đường thẳng d có hệ số góc là k và đi qua điểm M(x₀; y₀) thì có phương trình:

y – y₀ = k(x – x₀).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho đường thẳng ∆: 3x – 2y + 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2) và tạo với đường thẳng ∆ một góc 45°.

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Gọi ${\overrightarrow{n}}_d\left(A;B\right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d (với A² + B² ≠ 0).

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2) và nhận ${\overrightarrow{n}}_d\left(A;B\right)$ là vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

A(x – 1) + B(y – 2) = 0 hay Ax + By – A – 2B = 0.

Đường thẳng ∆: 3x – 2y + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{\Delta }\left(3;-2\right)$.

Để d tạo với ∆ một góc 45° thì $\cos 45°=\frac{\left|3A-2B\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-2\right)}^2}\cdot \sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \frac{\left|3A-2B\right|}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff 2\left|3A-2B\right|=\sqrt{26}\cdot \sqrt{A^2+B^2}$

⇔ 4(3A – 2B)² = 26(A² + B²)

⇔ 4(9A² – 12AB + 4B²) = 26A² + 26B²

⇔ 10A² – 48AB – 10B² = 0

⇔ A = 5B hoặc $A=-\frac{1}{5}B$

⦁ Với A = 5B, chọn B = 1 ta có A = 5.

Khi đó phương trình đường thẳng d là 5x + y – 5 – 2 = 0 hay 5x + y – 7 = 0.

⦁ Với $A=-\frac{1}{5}B$, chọn B = –5 ta có A = 1.

Khi đó phương trình đường thẳng d là x – 5y – 1 – 2.(–5) = 0 hay x – 5y + 9 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng d là 5x + y – 7 = 0 hoặc x – 5y + 9 = 0.

Cách 2. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d.

Phương trình đường thẳng d được viết dưới dạng: y – 2 = k(x – 1) hay kx – y + 2 – k = 0.

Khi đó đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_d\left(k;-1\right)$.

Đường thẳng ∆: 3x – 2y + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{\Delta }\left(3;-2\right)$.

Vì d tạo với ∆ một góc 45° nên: $\cos 45°=\frac{\left|3k+\left(-2\right).\left(-1\right)\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-2\right)}^2}\cdot \sqrt{k^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\iff \frac{\left|3k+2\right|}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{k^2+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff 2\left|3k+2\right|=\sqrt{26}\cdot \sqrt{k^2+1}$

$\iff 4{\left(3k+2\right)}^2=26\left(k^2+1\right)$

$\iff 5k^2+24k-5=0\iff \left[\begin{array}{l}k=\frac{1}{5}\\ k=-5\end{array}\right.$

Vậy phương trình đường thẳng d là: $\frac{1}{5}x-y+2-\frac{1}{5}=0$ hoặc –5x – y + 2 – (–5) = 0, tức là x – 5y + 9 = 0 hoặc 5x + y – 7 = 0.

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và tạo với đường thẳng Δ: x – 2y – 3 = 0 một góc 60°.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ có phương trình là y = ax hay ax – y = 0, có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_d\left(a;-1\right).$

Đường thẳng Δ: x – 2y – 3 = 0 có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{\Delta }\left(1;-2\right).$

Theo giả thiết d tạo với Δ một góc 60° nên:

$cos60°=\frac{\left|a\cdot 1+\left(-1\right)\cdot \left(-2\right)\right|}{\sqrt{a^2+{\left(-1\right)}^2}\cdot \sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{1}{2}\iff 2\left|a+2\right|=\sqrt{5}\cdot \sqrt{a^2+1}$

⇔ 4(a + 2)² = 5(a² + 1)

⇔ 4(a² + 4a + 4) = 5a² + 5

⇔ a² – 16a – 11 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}a=8+5\sqrt{3}\\ a=8-5\sqrt{3}\end{array}\right.$

Với a = $8+5\sqrt{3}$ ta được đường thẳng cần tìm là d₁: $y=\left(8+5\sqrt{3}\right)x;$

Với a = $8-5\sqrt{3}$ ta được đường thẳng cần tìm là d₁: $y=\left(8-5\sqrt{3}\right)x.$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng d có hệ số góc là số âm và đi qua A(–2; 0) tạo với đường thẳng Δ: x + 3y – 3 = 0 một góc 45° là

A. 2x + y + 4 = 0;

B. x + 2y + 4 = 0;

C. x – 2y – 2 = 0;

D. 2x + y – 4 = 0.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, có bao nhiêu đường thẳng d đi qua điểm A(2; 0) và tạo với trục hoành một góc 45°?

A. Có duy nhất;

B. 2;

C. Vô số;

D. Không tồn tại.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x – 4y – 12 = 0. Phương trình các đường thẳng Δ đi qua điểm M(2; –1) và tạo với d một góc 45° là

A. 7x – y – 15 = 0; x + 7y + 5 = 0;

B. 7x + y – 15 = 0; x – 7y + 5 = 0;

C. 7x – y + 15 = 0; x + 7y – 5 = 0;

D. 7x + y + 15 = 0; x – 7y – 5 = 0.

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng d đi qua M(–1; 2) và tạo với trục Ox một góc 60° là

A. $\sqrt{3}$x – y + $\sqrt{3}$ + 2 = 0;

B. $\sqrt{3}$x – y – $\sqrt{3}$ + 2 = 0;

C. $\sqrt{3}$x – y + 2 = 0;

D. $\sqrt{3}$x + y – $\sqrt{3}$ + 2 = 0.

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng Δ đi qua M(1; 1) và tạo với đường thẳng d: x – y + 90 = 0 một góc 45° là

A. x – 1 = 0;

B. y – 1 = 0;

C. x + y – 2 = 0;

D. Cả A và B đúng.

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng Δ tạo với đường thẳng d: y = –2x + 4 một góc 45°. Hệ số góc k của đường thẳng Δ là

A. $k=\frac{1}{3}$hoặc k = –3;

B. $k=\frac{1}{3}$ hoặc k = 3;

C. $k=\frac{1}{3}$ hoặc k = –3;  

D. $k=\frac{1}{3}$ hoặc k = 3.

Bài 7. Biết rằng có đúng hai giá trị của tham số k để đường thẳng d: y = kx tạo với đường thẳng ∆: y = x một góc 60°. Tổng hai giá trị của k bằng

A. –8;

B. –4;

C. –1;

D. 1.

Bài 8. Đường thẳng Δ đi qua giao điểm của hai đường thẳng d₁: 2x + y – 3 = 0 và d₂: x – 2y + 1 = 0 đồng thời tạo với đường thẳng d₃: y – 1 = 0 một góc 45° có phương trình là

A. x + $\left(1-\sqrt{2}\right)y$ = 0 hoặc x – y – 1 = 0;

B. x + 2y = 0 hoặc x – 4y = 0;

C. x – y = 0 hoặc x + y – 2 = 0;

D. 2x + 1 = 0 hoặc y + 5 = 0.

Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hai đường thẳng có phương trình (d₁) : x – y – 1 = 0, (d₂): 2x + y – 5 = 0. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng trên. Biết rằng có hai đường thẳng (d) đi qua M(1; –1) cắt hai đường thẳng trên lần lượt tại hai điểm B, C sao cho ABC là tam giác có BC = 3AB có dạng: ax + y + b = 0 và cx + y + d = 0, giá trị của T = a + b + c + d là

A. T = 5;

B. T = 6;

C. T = 2;

D. T = 0.

Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác cân ABC có cạnh đáy BC: x – 3y – 1 = 0, cạnh bên AB: x – y – 5 = 0. Đường thẳng AC đi qua M(−4; 1). Giả sử toạ độ đỉnh C(m; n). Giá trị T = m + n là 

A. $T=\frac{5}{9}$.   

B. $T=-3$.  

C. $T=\frac{9}{5}$.   

D. $T=-\frac{9}{5}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

• Xác định tâm và bán kính của đường tròn

• Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

• Lập phương trình đường tròn

• Xác định các yếu tố của elip, hypebol và parabol

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---