Tích vô hướng của hai vectơ là gì lớp 10 (chi tiết nhất)

Bài viết Tích vô hướng của hai vectơ là gì lớp 10 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tích vô hướng của hai vectơ là gì lớp 10.

1. Tích vô hướng của hai vectơ

1.1. Tích vô hướng của hai vectơ có cùng điểm đầu

Trong mặt phẳng, cho hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ khác $\overrightarrow{0}$ (hình vẽ).

⦁ Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right).$

⦁ Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ là một số thực; kí hiệu $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB},$ được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\left|\overrightarrow{OA}\right|.\left|\overrightarrow{OB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right).$

1.2. Tích vô hướng của hai vectơ tùy ý

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}.$  Lấy một điểm O và vẽ vectơ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ (hình vẽ).

⦁ Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},$  kí hiệu $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right),$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}.$

⦁ Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{b},$ kí hiệu $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b},$  là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}.$   Như vậy, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{b}$  là một số thực được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right).$

Quy ước: Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ $\overrightarrow{0}$  là số 0.

Chú ý:

⦁ $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}\right).$

⦁ Nếu $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=90°$ thì ta nói hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$  vuông góc với nhau, kí hiệu $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$  hoặc $\overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{a}.$  Khi đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos 90°=0.$

⦁ Tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng bằng tích hai độ dài của chúng.

⦁ Tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng bằng số đối của tích hai độ dài của chúng.

Ta có thể chứng minh chú ý thứ ba như sau:

Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$  là hai vectơ (khác $\overrightarrow{0}$ ) cùng hướng thì $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0°.$  Do đó, $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=1.$  Vì vậy, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.$

Nếu một trong hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$  là vectơ $\overrightarrow{0}$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$  và $\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|=0$  nên $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.$  Chú ý thứ tư được chứng minh tương tự như trên.

Chú ý: Trong Vật lí, tích vô hướng của $\overrightarrow{F}$  và $\overrightarrow{d}$  biểu diễn công A sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$  khi thực hiện độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}.$  Ta có công thức: $A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}.$

2. Ví dụ minh họa về tích vô hướng của hai vectơ

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = 4 cm.

a) Tính độ dài cạnh huyền BC.

b) Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}.$

Hướng dẫn giải

a) $BC=AB\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ (cm).

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\mathrm{4.4.}\cos \widehat{BAC}=16.\cos 90°=16.0=0.$  

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\left|\overrightarrow{BA}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=4.4\sqrt{2}.\cos \widehat{ABC}=16\sqrt{2}.\cos 45°=16\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=16.$

Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD tâm O có độ dài cạnh bằng a. Tính:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OC}.$

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}.$

c) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OD}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{OC}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO}\right)=\widehat{BAO}=45°.$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{OC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{OC}\right)=a.\frac{a}{\sqrt{2}}.\cos 45°=\frac{a^2}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a^2}{2}.$

b) Vẽ vectơ $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}.$ Ta có:

$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{BE},\overrightarrow{BD}\right)=\widehat{EBD}=135°.$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{BD}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)=a.a\sqrt{2}.\cos 135°=a^2\sqrt{2}.\frac{-\sqrt{2}}{2}=-a^2.$

c) Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BE},\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BO}$  nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{OD}\right)=\left(\overrightarrow{BE},\overrightarrow{BO}\right)=\widehat{EBO}=135°.$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OD}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{OD}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{OD}\right)=a.\frac{a}{\sqrt{2}}.\cos 135°=\frac{a^2}{\sqrt{2}}.\frac{-\sqrt{2}}{2}=\frac{-a^2}{2}.$

Ví dụ 3. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 4 và có đường cao AH. Tính các tích vô hướng:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.$

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}.$

Hướng dẫn giải

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\mathrm{4.4.}\cos 60°=16.\frac{1}{2}=8.$

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=\mathrm{4.4.}\cos 120°=16.\left(-\frac{1}{2}\right)=-8.$

3. Bài tập về tích vô hướng của hai vectơ

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{B}=30°,$  AB = 3 cm. Tính $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}.$

Bài 2. Cho tam giác ABC đều cạnh a, AH là đường cao. Tính:

a) $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{BA}.$

b) $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}.$

Bài 3. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$  theo a, b, c.

Bài 4. Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$  có độ dài lần lượt là 3 và 8 và có tích vô hướng là $12\sqrt{2}.$  Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{b}.$  

Bài 5. Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$  có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với $\overrightarrow{F}$  Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 sách mới hay, chi tiết khác:

• Tọa độ của vectơ là gì

• Số gần đúng là gì

• Sai số tuyệt đối là gì

• Sai số tương đối là gì

• Số trung bình là gì

• Số trung vị là gì

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---