Cách giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất (cực hay)
Bài viết Cách giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất.
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là
ax + by = c (1)
trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.
CHÚ Ý
a. Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. Nếu c ≠ 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (x0; y0) đều là nghiệm.
b. Khi b ≠ 0, phương trình ax + by = c trở thành
y = (-a/b)x + c/b (2)
Cặp số (x0; y0) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M(x0; y0) thuộc đường thẳng (2).
Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là
Trong đó x, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.
Nếu cặp số (x0; y0) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x0; y0) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (1).
Giải hệ phương trình (1) là tìm tập nghiệm của nó
Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.
Xét D | Kết quả | |
D ≠ 0 | Hệ có nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D | |
D = 0 | Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0 | Hệ vô nghiệm. |
Dx = Dy = 0 | Hệ có vô số nghiệm. |
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
Biểu diễn hình học của tập nghiệm:
Nghiệm (x; y) của hệ (I) là tọa độ điểm M(x; y) thuộc cả 2 đường thẳng:
(d1): a1x + b11y = c1 và (d2): a2x + b2y = c2
+ Hệ (I) có nghiệm duy nhất ⇔(d1) và (d2) cắt nhau.
+ Hệ (I) vô nghiệm ⇔ (d1) và (d2) song song với nhau.
+ Hệ (I) có vô số nghiệm ⇔ (d1) và (d2) trùng nhau.
3. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn
Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là
ax + by + cz = d
trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là
Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.
Mỗi bộ ba số (x0, y0, z0) nghiệm đúng của ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (2).
Phương pháp giải
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bài 1: Giải hệ phương trình
Lời giải:
a. Ta có: y = 1-√2x ⇒ 3x + √2(1-√2.x) = 2 ⇒ x = 2 - √2 ⇒ y = 3 - 2√2
b. Ta có: Thế y = 4 - 2x vào phương trình y + z = 2 + √2 ta được -2x + z = -2 + √2
Giải hệ ta được x = 1; z = √2 ⇒ y = 2
Bài 2: Giải hệ phương trình
Lời giải:
ĐK: xy ≠ 0. Khi đó
Bài 3: Có bao nhiêu cặp số nguyên (a; b) sao cho hệ phương trình
vô nghiệm
Lời giải:
Ta có ax + y = 2 ⇒ y = 2 - ax
Thay vào phương trình 6x + by = 6 có
6x + b(2-ax) = 6 ⇔ x(6-ab) + 2b - 6 = 0
Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình x(6-ab) + 2b - 6 = 0 vô nghiệm
Do (a; b) nguyên nên (a; b) = {(6; 1); (1; 6); (-6; -1); (-1; -6); (-2; -3); (-3; -2); (3; 2)}
Bài 4: Gọi (x0; y0; z0) là nghiệm của hệ phương trình
Tính giá trị của biểu thức P = x0y0z0
Lời giải:
Ta có
Phương trình (3) ⇔ z = 24 - 3x - 2y. Thay vào (1) và (2) ta được hệ phương trình
Suy ra z = 24 - 3.4 - 2.5 = 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y; z) = (4; 5; 2) → P = 4.5.2 = 40
Bài 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình
có duy nhất một nghiệm.
Lời giải:
Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra
Hệ phương trình
Có nghiệm duy nhất khi (1; -2) là nghiệm của phương trình 2mx + 5y - m = 0 tức là 2m.1 + 5.(-2) - m = 0 ⇔ m = 10
Bài 6: Cho hệ phương trình . Tìm các giá trị thích hợp của tham số a để tổng bình phương hai nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
Ta có :
Đẳng thức xảy ra khi a = 1/2
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
- Bài tập phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
- Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai
- Bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Lớp 10 - Kết nối tri thức
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - KNTT
- Giải Toán lớp 10 - KNTT
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - KNTT
- Giải Vật lí lớp 10 - KNTT
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - KNTT
- Giải Sinh học lớp 10 - KNTT
- Giải Địa lí lớp 10 - KNTT
- Giải Lịch sử lớp 10 - KNTT
- Giải Công nghệ lớp 10 - KNTT
- Giải Hoạt động trải nghiệm lớp 10 - KNTT
- Giải Giáo dục quốc phòng lớp 10 - KNTT
- Giải Tin học lớp 10 - KNTT
- Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - CTST
- Giải Toán lớp 10 - CTST
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - CTST
- Giải Vật lí lớp 10 - CTST
- Giải Hóa học lớp 10 - CTST
- Giải Sinh học lớp 10 - CTST
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - CTST
- Giải Địa lí lớp 10 - CTST
- Giải Lịch sử lớp 10 - CTST
- Giải Hoạt động trải nghiệm lớp 10 - CTST
- Lớp 10 - Cánh diều
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - CD
- Giải Toán lớp 10 - CD
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - CD
- Giải Vật lí lớp 10 - CD
- Giải Hóa học lớp 10 - CD
- Giải Sinh học lớp 10 - CD
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - CD
- Giải Địa lí lớp 10 - CD
- Giải Lịch sử lớp 10 - CD
- Giải Giáo dục quốc phòng lớp 10 - CD
- Giải Tin học lớp 10 - CD