Bài 5.23 trang 53 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Bài 5.23 trang 53 Toán 12 Tập 2: Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Bài 5.23 trang 53 Toán 12 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Lời giải:

Bài 5.23 trang 53 Toán 12 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của AC, BD.

Vì các tam giác SAC, SBD đều cân tại S, SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao.

Suy ra SO ⊥ AC, SO ⊥ BD nên SO ⊥ (ABCD).

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Vì ABCD là hình vuông cạnh 230 m nên OA = OB = OC = OD = $115 \sqrt{2}$ .

Xét tam giác SOB vuông tại O, có $S O = \sqrt{S B^{2} - O B^{2}} = \sqrt{219^{2} - {(115 \sqrt{2})}^{2}} = 7 \sqrt{439}$

Ta có $A (- 115 \sqrt{2}; 0; 0), B (0; - 115 \sqrt{2}; 0), C (115 \sqrt{2}; 0; 0), S (0; 0; 7 \sqrt{439})$

Ta có $\vec{S A} = (- 115 \sqrt{2}; 0; - 7 \sqrt{439}), \vec{S B} = (0; - 115 \sqrt{2}; - 7 \sqrt{439}),$

$\vec{S C} = (115 \sqrt{2}; 0; - 7 \sqrt{439})$

Ta có $[\vec{S A}, \vec{S B}] =$ $(|\begin{matrix} 0 & - 7 \sqrt{439} \\ - 115 \sqrt{2} & - 7 \sqrt{439} \end{matrix}|, |\begin{matrix} - 7 \sqrt{439} & - 115 \sqrt{2} \\ - 7 \sqrt{439} & 0 \end{matrix}|, |\begin{matrix} - 115 \sqrt{2} & 0 \\ 0 & - 115 \sqrt{2} \end{matrix}|)$

$= (- 805 \sqrt{878}; - 805 \sqrt{878}; 26450)$

$[\vec{S B}, \vec{S C}] = (|\begin{matrix} - 115 \sqrt{2} & - 7 \sqrt{439} \\ 0 & - 7 \sqrt{439} \end{matrix}|, |\begin{matrix} - 7 \sqrt{439} & 0 \\ - 7 \sqrt{439} & 115 \sqrt{2} \end{matrix}|, |\begin{matrix} 0 & - 115 \sqrt{2} \\ 115 \sqrt{2} & 0 \end{matrix}|)$

$= (805 \sqrt{878}; - 805 \sqrt{878}; 26450)$

Mặt phẳng (SAB) nhận $\vec{n} = \frac{1}{5} [\vec{S A}, \vec{S B}] = (- 161 \sqrt{878}; - 161 \sqrt{878}; 5290)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SBC) nhận $\vec{n^{'}} = \frac{1}{5} [\vec{S B}, \vec{S C}] = (161 \sqrt{878}; - 161 \sqrt{878}; 5290)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó

$\begin{array}{l} \cos ((S A B), (S B C)) \\ = \frac{|- {(161 \sqrt{878})}^{2} + {(161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}|}{\sqrt{{(- 161 \sqrt{878})}^{2} + {(- 161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}} . \sqrt{{(161 \sqrt{878})}^{2} + {(- 161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}}} \end{array}$

$= \frac{5290^{2}}{{(161 \sqrt{878})}^{2} + {(- 161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}}$ $\approx 0,3807$

Suy ra ((SAB), (SBC)) ≈ 67,6°.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) khoảng 67,6°.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Kết nối tri thức khác